Teorema sulle potenze dei naturali pari
Premessa: vorrei informare la moderazione che tale dimostrazione è già stata riportata da un ex utentessa, senza il mio consenso e su un'altra comunità.
Mi preme riportarla personalmente perché è stata riportata in modo maldestro giacché estrapolata da appunti presenti nell'hard disk interno del mio pc e anche se ha alte probabilità di essere incorretta, vorrei capire personalmente i miei errori. Chiedo scusa per l’inconveniente.
La dimostrazione procede cosi:
1)Ipotizzare che solo le potenze pari, aventi la proprietà/condizione $C$ , possono scriversi come esplicitato nell’enunciato.
2) Negare la (1) per poi dimostrarla.
3) Le potenze pari n-esime, con $n>2$, non avendo la proprietà/condizione $C$, per il punto 1, non possono scriversi secondo l’enunciato.
Esposizione ed enunciato.
Prendiamo due numeri naturali: $a$,$n$;
entrambi maggiori di zero, con $a$ numero naturale pari.
Considerando la potenza $a^n$, si ha che la stessa può scriversi come differenza tra due potenze di egual grado, aventi tra loro $M.C.D. =1$, solo se $a$ è divisibile per un numero naturale $m>1$ ottenibile al contempo come: l'ennesima potenza di un altro numero naturale $y^n$ e $yn$, dove appunto $n$ indica l'esponente di $a$.
Formalmente si ha:
Sia $n ∈N^+$ naturale fissato, $a$ intero pari in $N^+$
“Se e solo se” $∃m>1∈N$ tale che $m∣a$, con $m=y^n∧m=yn$
allora $∃b,c∈N^+$ tali che $a^n=c^n−b^n$ e $M.C.D.(a,b,c)=1$.
Chiamerò proprietà/condizione $C$, il fatto che $a$ deve essere divisibile per $m>1∈N$ tale che $m∣a$,
con $m=y^n∧m=yn$, al fine di semplificare l’esposizione e la lettura della dimostrazione.
Dimostrazione.
Affermiamo che l’enunciato sia falso e consideriamo l’equazione $y^n=yn$ .
Essa ha soluzione intere positive solo per $n=1$ e $n=2$.
Analizziamo dunque i due casi con l’intento di trovare dei contro esempi rivolti a dimostrare che la proprietà/condizione $C$ non è indispensabile.
Andiamo dunque a cercare:
- una potenza $a^n$ che pur soddisfacendo la proprietà/condizione $C$ non può scriversi come differenza di potenze di egual grado con $M.C.D. =1$.
- una potenza $a^n$ che non soddisfacendo la proprietà/condizione $C$ può scriversi lo stesso come differenza di potenze di egual grado con $M.C.D. =1$.
Non esistono contro esempi, né per $n=1$ né per $n=2$.
In assenza di contro esempi la proprietà/condizione $C$ è da ritenersi indispensabile.
Considerando i casi $n>2$:
- visto che l’equazione $y^n-yn=0$ non ha soluzioni intere positive,
- visto che la proprietà/condizione $C$ è indispensabile,
si ha che $a^n$ non può essere ottenuta come differenza tra due potenze di egual grado e inoltre si ha
che non esistono soluzioni intere positive all'equazione: $a^n + b^n = c^n$ se $n > 2$.
Vi ringrazio.
Mi preme riportarla personalmente perché è stata riportata in modo maldestro giacché estrapolata da appunti presenti nell'hard disk interno del mio pc e anche se ha alte probabilità di essere incorretta, vorrei capire personalmente i miei errori. Chiedo scusa per l’inconveniente.
La dimostrazione procede cosi:
1)Ipotizzare che solo le potenze pari, aventi la proprietà/condizione $C$ , possono scriversi come esplicitato nell’enunciato.
2) Negare la (1) per poi dimostrarla.
3) Le potenze pari n-esime, con $n>2$, non avendo la proprietà/condizione $C$, per il punto 1, non possono scriversi secondo l’enunciato.
Esposizione ed enunciato.
Prendiamo due numeri naturali: $a$,$n$;
entrambi maggiori di zero, con $a$ numero naturale pari.
Considerando la potenza $a^n$, si ha che la stessa può scriversi come differenza tra due potenze di egual grado, aventi tra loro $M.C.D. =1$, solo se $a$ è divisibile per un numero naturale $m>1$ ottenibile al contempo come: l'ennesima potenza di un altro numero naturale $y^n$ e $yn$, dove appunto $n$ indica l'esponente di $a$.
Formalmente si ha:
Sia $n ∈N^+$ naturale fissato, $a$ intero pari in $N^+$
“Se e solo se” $∃m>1∈N$ tale che $m∣a$, con $m=y^n∧m=yn$
allora $∃b,c∈N^+$ tali che $a^n=c^n−b^n$ e $M.C.D.(a,b,c)=1$.
Chiamerò proprietà/condizione $C$, il fatto che $a$ deve essere divisibile per $m>1∈N$ tale che $m∣a$,
con $m=y^n∧m=yn$, al fine di semplificare l’esposizione e la lettura della dimostrazione.
Dimostrazione.
Affermiamo che l’enunciato sia falso e consideriamo l’equazione $y^n=yn$ .
Essa ha soluzione intere positive solo per $n=1$ e $n=2$.
Analizziamo dunque i due casi con l’intento di trovare dei contro esempi rivolti a dimostrare che la proprietà/condizione $C$ non è indispensabile.
Andiamo dunque a cercare:
- una potenza $a^n$ che pur soddisfacendo la proprietà/condizione $C$ non può scriversi come differenza di potenze di egual grado con $M.C.D. =1$.
- una potenza $a^n$ che non soddisfacendo la proprietà/condizione $C$ può scriversi lo stesso come differenza di potenze di egual grado con $M.C.D. =1$.
Non esistono contro esempi, né per $n=1$ né per $n=2$.
In assenza di contro esempi la proprietà/condizione $C$ è da ritenersi indispensabile.
Considerando i casi $n>2$:
- visto che l’equazione $y^n-yn=0$ non ha soluzioni intere positive,
- visto che la proprietà/condizione $C$ è indispensabile,
si ha che $a^n$ non può essere ottenuta come differenza tra due potenze di egual grado e inoltre si ha
che non esistono soluzioni intere positive all'equazione: $a^n + b^n = c^n$ se $n > 2$.
Vi ringrazio.
Risposte
"Antonio092":
[...] ex utentessa [...]
Chi?
Cos'è il grado di una potenza?
"Antonio092":
Non esistono contro esempi, né per $ n=1 $ né per $ n=2 $
In assenza di contro esempi la proprietà/condizione $ C $ è da ritenersi indispensabile.
Considerando i casi $ n>2 $:
- visto che la proprietà/condizione $ C $ è indispensabile
secondo me l'errore è qui,cioè non capisco in che modo fai questo passaggio..
Delirium
Ciao e grazie per l'interessamento.
Si chiama Paola ma si è presentata come Monica. Devo chiedere prima alla moderazione per vedere se posso dire il suo pseudonimo. Ho appena inviato un sms a Camillo, il primo moderatore della lista. Se vuoi, poi, mandami un sms.
j18eos
Ciao e grazie per l'interessamento.
Ti faccio un esempio pratico per essere più chiari.
Considerando la potenza $4^2$ il grado è $2$, per la potenza $3^5$ il grado è $5$; in pratica è il valore dell'esponente.
wall98
Ciao e grazie per l'interessamento.
Non mi sono spiegato bene perchè $C$ è indispensabile?
Oppure perchè, per $n>2$,nessuna potenza di un naturale pari può soddisfare $C$?
Ciao e grazie per l'interessamento.
Si chiama Paola ma si è presentata come Monica. Devo chiedere prima alla moderazione per vedere se posso dire il suo pseudonimo. Ho appena inviato un sms a Camillo, il primo moderatore della lista. Se vuoi, poi, mandami un sms.
j18eos
Ciao e grazie per l'interessamento.
Ti faccio un esempio pratico per essere più chiari.
Considerando la potenza $4^2$ il grado è $2$, per la potenza $3^5$ il grado è $5$; in pratica è il valore dell'esponente.
wall98
Ciao e grazie per l'interessamento.
Non mi sono spiegato bene perchè $C$ è indispensabile?
Oppure perchè, per $n>2$,nessuna potenza di un naturale pari può soddisfare $C$?
intendo prima analizzi il caso n=1,2 e poi passi a n>2 con la stessa proprieta...
per caso il nick di questo utente termina con un numero dispari? in ogni caso non credo che nessuno si faccia problemi,giusto anche essere prudenti pero
per caso il nick di questo utente termina con un numero dispari? in ogni caso non credo che nessuno si faccia problemi,giusto anche essere prudenti pero
wall98
No, è stata espulsa. Termina con due consonanti.
Beh, analizzo i casi $n=1$ e $n=2$ perchè sono gli unici casi cui è applicabile $C$.
Dimostrando che $C$ è indispensabile per avere $a^n=c^n-b^n$ e $M.C.D.(a,b,c)=1$; giacchè per i casi $n>2$, $C$ non è applicabile (ricordando che $C$ è indispensabile) allora non si avrà mai $a^n=c^n-b^2$ se $n>2$.
No, è stata espulsa. Termina con due consonanti.
Beh, analizzo i casi $n=1$ e $n=2$ perchè sono gli unici casi cui è applicabile $C$.
Dimostrando che $C$ è indispensabile per avere $a^n=c^n-b^n$ e $M.C.D.(a,b,c)=1$; giacchè per i casi $n>2$, $C$ non è applicabile (ricordando che $C$ è indispensabile) allora non si avrà mai $a^n=c^n-b^2$ se $n>2$.
in realta mi pare tu abbia dimostrato che C è indispensabile per n=1,2. Non per n>2..
"Antonio092":
Delirium
Ciao e grazie per l'interessamento.
Si chiama Paola ma si è presentata come Monica. Devo chiedere prima alla moderazione per vedere se posso dire il suo pseudonimo. Ho appena inviato un sms a Camillo, il primo moderatore della lista. Se vuoi, poi, mandami un sms. [...]
Il suo pseudonimo? Ne conosciamo almeno 5 diversi, di quest'utente.
Ad ogni modo spero che i moderatori intervengano tempestivamente. E non dico altro.
[xdom="gugo82"]Sinceramente, avete stancato tutti: Antonio092, Stellinelm, Susannap (ammesso e non concesso siano persone diverse) e altri che mi astengo dal nominare.
Di crank non ne sentiamo la mancanza ed invitiamo sempre i qui scriventi a farsi volontariamente da parte.
@ Antonio092: Se credi di aver qualcosa di sensato da dire, scrivi tutto in inglese ed invia il tuo lavoro a qualche rivista/esperto di settore.
Questo forum non si è mai assunto l'onere di correggere/valutare una ricerca e non lo farà mai, perché non è questa la sua missione.[/xdom]
Di crank non ne sentiamo la mancanza ed invitiamo sempre i qui scriventi a farsi volontariamente da parte.
@ Antonio092: Se credi di aver qualcosa di sensato da dire, scrivi tutto in inglese ed invia il tuo lavoro a qualche rivista/esperto di settore.
Questo forum non si è mai assunto l'onere di correggere/valutare una ricerca e non lo farà mai, perché non è questa la sua missione.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo