Telecomando e calcolo combinatorio

[NoRe1]

Ho trovato un vecchio telecomando, e dopo averlo smontato trovo 10 interruttori al suo interno...
Per ogni interruttore ci sono due possibilità...
Ora, non avendo da fare, mi sono chiesto: In quanti modi sono combinabili questi interruttori?
Siamo a tavola e allora parte la sfida con mio padre, che di Matematica conosce solo le tabelline
Credo sia un problema molto semplice per molti di voi, ma per me no


Il calcolo combinatorio, praticamente non lo conosco, quindi sono andato un po' ad intuito...
L'idea illuminante è stata immaginare degli schermi, del tipo di quelli che segnalano i punteggi alle partite di Basket...
Se ho due schermi, il numero di coppie da due cifre variabili tra 0 e 9 sarà 100 no?
Beh, mi sono detto, allora perchè non dovrebbe funzionare con i numeri in base 2?
Sempre molto alla leggera mi sono detto: il numero massimo di combinazioni sarà $C=1111111111_2+1$ (il numero che si ottiene con tutti gli interrutori spenti che non è contato in questo modo quindi va aggiunto)

$C=1111111111_2+1$
ma è evidente che questo numero è uguale a $2^10$! ( non fatemi scrivere anche il perchè di questo! )

Il numero è quindi $C=1024$

Sicuramente esisteva un procedimento più semplice e immediato ma questo mi sembrava simpatico!

Probabilmente ci sono erroracci e sciste da far paura ma non fa nulla

se esiste un'altra soluzione che non sfrutta il calcolo combinatorio ditemelo così ci provo!
Per il resto aspetto le vostre soluzioni tra spoiler con eventuali suggerimenti!

[giammaria2]

Un buon ragionamento, ed è simpatico il collegamento con la numerazione in base 2. Un altro ragionamento possibile era: per il primo interruttore ci sono 2 possibilità e per ognuna di queste ci sono due possibilità per il secondo interruttore: in totale $2^2$ possibilità. Per ognuna di queste $2^2$ possibilità ce ne sono 2 per il terzo: in totale $2^3$ possibilità. Continuando così per tutti i 10 interruttori arrivi a $2^10$ possibilità, che è il tuo risultato.
Nel calcolo combinatorio, queste si chiamano disposizioni con ripetizione: se ho $n$ elementi e voglio disporli in $k$ posti, anche ripetendoli, lo si può fare in $n^k$ modi. La dimostrazione è in tutto analoga a quella appena fatta.
Non uso spoiler perché mi sembra inutile: hai già trovato la soluzione e lo apriresti subito.
Quando non conoscevo ancora il calcolo combinatorio, ho fatto questo ragionamento per calcolare quante sono le schedine al totocalcio compilabili.