Tante teste in fila
Lanciando una moneta si ottiene testa o croce con probabilità uguale.
Io comincio a lanciare una moneta tante volte una dopo l'altra e mi fermo quando mi esce l'$n$-esima testa consecutiva.
Dopo quanti lanci mi fermo, in media?
Io comincio a lanciare una moneta tante volte una dopo l'altra e mi fermo quando mi esce l'$n$-esima testa consecutiva.
Dopo quanti lanci mi fermo, in media?
Risposte
$2^n$
Sei vicino, ma la risposta esatta è diversa.
Come hai ragionato?
Come hai ragionato?
Prendo il caso $n=1$ noto che la probabilità di fermarmi al $k$-esimo lancio è data da $1/2^k$. Chiamando $X$ la variabile che mi dice dopo quanti lanci mi fermo, per $n=1$ ho $E(x)= 1*(1/2)+2*(1/4)+3*(1/8)+... = \sum_{j=1}^{infty} j/2^j$. Sono partito da questo ragionamento e avevo anche un'idea per $n=2$...qualcuno riesce a proseguire?
Quella tende a $2$, ma $2=2^1$ così come è uguale a $2^2-2$
Poi volendo continuare con quella strada mi sa che per $n=2$ verrebbe:
$2*1/4 + 3*1/8+4*2/16+5*3/32+6*5/64+7*8/128+8*13/256+9*21/512+....$ e già qui non so se è facile trovare il valore esatto xDD
Per $n=3$ manco ci provo..
Per fortuna però non è l'unico modo per calcolare il numero medio di lanci. Ad esempio si può considerare $f(k)$ come "quanti lanci devo fare in media, dopo che ho già accumulato $k$ teste consecutive".
A quel punto si vede che $f(0)= 1/2f(1)+1/2f(0)+1$.
Da cui $f(0)=f(1)+2$. E già da qui si capisce che con $n=1$ viene $2$.
Poi $f(1) = 1/2f(2)+1/2f(0)+1$. Da cui $f(0)=f(2)+6$.. Così con $n=2$ so che la sommatoria scritta sopra tende a $6$.
E poi si può continuare a piacimento, magari trovando anche il risultato in forma chiusa

Poi volendo continuare con quella strada mi sa che per $n=2$ verrebbe:
$2*1/4 + 3*1/8+4*2/16+5*3/32+6*5/64+7*8/128+8*13/256+9*21/512+....$ e già qui non so se è facile trovare il valore esatto xDD
Per $n=3$ manco ci provo..

Per fortuna però non è l'unico modo per calcolare il numero medio di lanci. Ad esempio si può considerare $f(k)$ come "quanti lanci devo fare in media, dopo che ho già accumulato $k$ teste consecutive".
A quel punto si vede che $f(0)= 1/2f(1)+1/2f(0)+1$.
Da cui $f(0)=f(1)+2$. E già da qui si capisce che con $n=1$ viene $2$.
Poi $f(1) = 1/2f(2)+1/2f(0)+1$. Da cui $f(0)=f(2)+6$.. Così con $n=2$ so che la sommatoria scritta sopra tende a $6$.
E poi si può continuare a piacimento, magari trovando anche il risultato in forma chiusa


Ok ma in definitiva qual è il risultato?
Quello intuito da Steph: $2^{n+1} - 2$
Un modo per ottenerlo è proprio quello di usare delle funzioni definite in maniera ricorsiva come ha fatto lui per il caso $n=1$
Un modo per ottenerlo è proprio quello di usare delle funzioni definite in maniera ricorsiva come ha fatto lui per il caso $n=1$