Tangente in un punto a una curva.

[Oliver Heaviside]

Si consideri la curva di equazione $x^3y-xy^2-xy+9=0$, scrivere l'equazione della tangente alla curva nel punto (1,3). Stranamente molti studenti non riescono a risolvere questo esercizio o fanno molti calcoli inutili..

[gugo82]

Si può attaccare con più tecniche.
Quali strumenti vuoi che si usino?

[Oliver Heaviside]

"gugo82":Si può attaccare con più tecniche.
Quali strumenti vuoi che si usino?

come puo' farlo uno studente di liceo...
Ciao

Oliver

[Oliver Heaviside]

"Oliver Heaviside":[quote="gugo82"]Si può attaccare con più tecniche.
Quali strumenti vuoi che si usino?

come puo' farlo uno studente di liceo...
Ciao

Oliver[/quote]

Posto la derivata:

$y'=\frac{-3x^2y+y^2+y}{x^3-2yx-x}$

facile per chi ha veramente chiaro il concetto di derivata.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"Oliver Heaviside":

facile per chi ha veramente chiaro il concetto di derivata.

Non c'è niente di concettuale, o poco, nel calcolare quella derivazione implicita. Uno può non aver capito una cippa della derivata e saperla calcolare ad occhi chiusi, viceversa uno può avere molto bene in chiaro cosa sia la derivata e non saper fare la derivazione implicita di quella curva. Semplicemente perché il calcolo della derivata è solamente un meccanismo algebrico. Comunque sia

Sia \( t : y = mx + q \) l'equazione della tangente alla curva \( \Gamma \), da te definita implicitamente da \( x^3y-xy^2 - xy + 9 =0 \), in \( P=(1,3) \). Allora abbiamo che
\[ m = \frac{dy}{dx} \mid_P \]
l'unica punto in cui si richiede allo studente di sapere cosa sia la derivata è per l'appunto porre \(m = \frac{dy}{dx} \mid_P \), il resto sono solamente semplici passaggi algebrici, nulla più.
La derivazione implicita è
\[ 3x^2y + x^3 y' - y^2 -2xyy' - y -xy' = 0 \]
da cui valutandola in \(P\) otteniamo
\[ 9 + m - 9 -6m - 3 -m =0 \Leftrightarrow m= - 1/2 \]
da cui
\[ t : y= -\frac{x}{2} + \frac{7}{2} \]
dove per trovare \(q\) abbiamo sfruttato nuovamente il fatto che \(t\) passa per \((1,3)\).

[Oliver Heaviside]

E' esattamente quello che ho fatto. Di concettuale c'e' il fatto che chi ha chiaro il concetto di derivata e quello di derivata di funzione composta dovrebbe essere in grado di fare la derivazione implicita. L'esperienza dice che ,da soli, gli studenti non ci arrivano. Chiaramente dopo averla vista la difficoltà scompare. Nei libri di liceo non ho mai visto cenni alla derivazione implicita (ma mi riferisco a libri fine anni novanta)..

Grazie per il contributo.

[axpgn]

Scusami ma dove sta scritto che si deve derivare rispetto ad $x$?
La funzione così come l'hai scritta non definisce dominio e codominio, chi è funzione di cosa, mi sembra normale che uno studente non sappia da dove cominciare ...

[gugo82]

"Oliver Heaviside":Si consideri la curva di equazione $x^3y-xy^2-xy+9=0$, scrivere l'equazione della tangente alla curva nel punto (1,3). Stranamente molti studenti non riescono a risolvere questo esercizio o fanno molti calcoli inutili..

In realtà non c’è nemmeno bisogno della derivazione implicita…

La retta tangente, se non parallela all’asse $y$, ha equazione esplicita del tipo $y=m (x-1) + 3$. Ipotizziamo che questo sia il caso (educated guess) e vediamo che succede.
Sostituendo nell’equazione della curva si trova un’equazione di quarto grado in $x$:

(*) $mx^4 - (m^2 + m - 3) x^3 + (2m^2 - 7m) x^2 - (m^2 - 7m + 12) x + 9=0$

la quale, per definizione di retta tangente, deve avere in $x=1$ una soluzione almeno doppia, ossia $x=1$ deve essere una soluzione di (*) (cosa che sicuramente già è, in quanto $(1,3)$ appartiene alla curva definita dall’equazione assegnata, come si verifica per ispezione diretta) e dell’equazione (**) da essa derivata che è:

(**) $4mx^3 - 3(m^2 + m - 3) x^2 + 2(2m^2 - 7m) x - (m^2 - 7m + 12) = 0$

(e si ottiene uguagliando a zero la derivata del polinomio al primo membro della (*)).
Sostituendo $x=1$ in (**) si ottiene:

$4m - 3(m^2 + m - 3) + 2(2m^2 - 7m) - (m^2 - 7m + 12) = 0 \ <=> \ 4m - 3m + 9 - 14m + 7m - 12 = 0 \ <=>\ -6m - 3 = 0$

da cui $m=-1/2$.

Questo è il metodo che userebbe uno studente del liceo, se non ricordo male (ho lasciato il liceo da un po’… ).

Il punto è che comunque questo esercizio è, in un certo senso, “sbagliato” in qualsiasi modo lo si risolva. Infatti, non ci si chiede perché nel punto $(1,3)$ la curva assegnata (che è algebrica di quarto grado) deve avere una retta tangente; bensì si chiede di calcolare pedantemente -sfruttando o l’una o l’altra manipolazione di simboli- il coefficiente angolare di una retta tangente che non si sa nemmeno se esista e perché esista.

[qualcuno4]

@gugo82 Ma allora che cosa è la tangente ?

[gugo82]

"qualcuno":@gugo82 Ma allora che cosa è la tangente ?

Eh... Problema non da poco.

Per una curva algebrica, probabilmente, si può definire in generale la nozione di retta tangente come quella retta (se esiste) che ha un contatto doppio con la curva nel punto di tangenza.[nota]Questa definizione si potrebbe estendere al caso di curve non algebriche, ma che sono curve-grafico; e dovrebbe restituire -in qualche modo- la nozione di derivata come coefficiente angolare... Ci dovrei pensare, ma credo che questo approccio sia molto aderente allo sviluppo storico delle idee del Calcolo; quindi, probabilmente, ci sarà già vasta letteratura in merito.[/nota]
Il punto è che una retta tangente potrebbe non avere un'equazione esplicita del tipo $y=mx+q$; quindi per trattare il problema in generale converrebbe sfruttare le cosiddette equazioni parametriche della retta, ma che usualmente non si studiano alle superiori. Immagino una cosa simile: diciamo di avere una curva algebrica di equazione implicita $Gamma: p(x,y)=0$ (con $p$ polinomio) ed un punto $(x_0,y_0) in Gamma$ (i.e., tale che $p(x_0,y_0)=0$); scelta una retta qualsiasi di equazioni parametriche $r: \{(x = x_0 + alpha t), (y= y_0 + beta t):}$ (con $alpha, beta in RR$ numeri direttori della retta -non entrambi nulli- e $t in RR$ parametro corrente sulla retta), la retta $r$ è la tangente a $Gamma$ in $(x_0,y_0)$ se e solo se il polinomio $P(t) = p(x_0+alpha t, y_0 + beta t)$ ha in $t=0$ uno zero d'ordine almeno due, cioè se $P(t)$ è divisibile per $t^2$. Questa condizione si traduce in una condizione sui due parametri $alpha$ e $beta$ che consente di individuare -se tutto va bene- coppie di parametri proporzionali che sono tutti numeri direttori di una stessa retta, i.e. $r$.

Vediamo se funziona nel nostro caso.

Abbiamo $ p(x,y) := x^3y-xy^2-xy+9$ ed $(x_0,y_0) = (1,3)$.
Le equazioni parametriche della generica retta per $(1,3)$ sono $\{(x = 1 + alpha t), (y= 3 + beta t):}$, dunque:

$P(t) = (1+ alpha t)^3 (3 + beta t) - (1+ alpha t) (3+ beta t)^2 - (1+alpha t)(3+beta t) + 9$

da cui, con tediosi calcoli, traiamo:

$P(t) = alpha^3 beta t^4 + alpha (3 alpha^2 + 3 alpha beta - beta^2) t^3 + (9 alpha^2 - 4 alpha beta - beta^2) t^2 - 3 (alpha + 2 beta) t$

(spero di aver scritto tutto giusto... ); evidentemente $P(t)$ è divisibile per $t^2$ solo se il coefficiente di $t$ è nullo, il che restituisce:

$alpha = - 2beta$

con $beta != 0$ che rimane arbitrario e possiamo fissare uguale ad $-1$, in modo da ottenere la retta di equazioni:

$r: \{ (x=1 + 2t), (y=3 - t):} \ =>\ y = - 1/2 x + 7/2$...

Funziona!

[qualcuno4]

@gugo82 Grazie per la tua risposta molto precisa e dettagliata che mi ha aiutato a comprendere meglio il concetto.

[hydro1]

"gugo82":[quote="qualcuno"]@gugo82 Ma allora che cosa è la tangente ?

Eh... Problema non da poco.

Per una curva algebrica, probabilmente, si può definire in generale la nozione di retta tangente come quella retta (se esiste) che ha un contatto doppio con la curva nel punto di tangenza.[/quote]

Con questa definizione direi che ne esiste sempre almeno una, ma possono esisterne anche infinite, come in $y^2=x^3$. In generale si richiede che la curva sia liscia nel punto... Ma la definizione ovviamente ha senso in tutta generalità, anzi se $X$ è uno schema su un campo $k$ lo spazio tangente in un punto $x\in X(k)$ è il duale del $k$-spazio vettoriale $m_x/m_x^2$, dove $m_x$ è l'ideale massimale dell'anello locale di $X$ in $x$.

[gugo82]

"hydro":[quote="gugo82"][quote="qualcuno"]@gugo82 Ma allora che cosa è la tangente ?

Eh... Problema non da poco.

Per una curva algebrica, probabilmente, si può definire in generale la nozione di retta tangente come quella retta (se esiste) che ha un contatto doppio con la curva nel punto di tangenza.[/quote]

Con questa definizione direi che ne esiste sempre almeno una, ma possono esisterne anche infinite, come in $y^2=x^3$. In generale si richiede che la curva sia liscia nel punto... Ma la definizione ovviamente ha senso in tutta generalità, anzi se $X$ è uno schema su un campo $k$ lo spazio tangente in un punto $x\in X(k)$ è il duale del $k$-spazio vettoriale $m_x/m_x^2$, dove $m_x$ è l'ideale massimale dell'anello locale di $X$ in $x$.[/quote]
Beh, si possono fare anche cose più strane... Ad esempio, la curva di equazione $(x^2 + y^2)(x^2 + 1 - y) = 0$ ha un punto isolato in $(0,0)$ e non dovrebbe avere molto senso parlare di tangente lì dentro; tuttavia, con la solita sostituzione $\{(x = alpha t), (y = beta t):}$, si vede che $P(t)=(alpha^2 + beta^2)t^2*(...)$ è divisibile per $t^2$ per ogni $alpha$ e $beta$ non contemporaneamente nulli, ossia che ogni retta per $(0,0)$ sarebbe da considerarsi tangente alla curva.

Il punto è che proprio difficoltà come queste hanno fatto sì che una definizione "analitica" fosse preferita (non in tutti i contesti, of course) ad una puramente "algebrica".

Tuttavia, se ci si limita a studiare le curve di grado al più due (i.e, rette e coniche) non degeneri[nota]I punti doppi sono da evitare, come mostrano gli esempi $x^2 + y^2 = 0$ ed $x^2 - y^2 = 0$.[/nota], la definizione algebrica funziona alla grandissima.

[j18eos]

@hydro [ot]Non voglio iniziare un flame!

"hydro":...se $X$ è uno schema su un campo $k$ lo spazio tangente in un punto $x\in X(k)$ è il duale del $k$-spazio vettoriale $m_x/m_x^2$, dove $m_x$ è l'ideale massimale dell'anello locale di $X$ in $x$.

Ma ti sembra la stanza adatta per queste "parolacce"? [/ot]

[hydro1]

"j18eos":@hydro [ot]Non voglio iniziare un flame![quote="hydro"]...se $X$ è uno schema su un campo $k$ lo spazio tangente in un punto $x\in X(k)$ è il duale del $k$-spazio vettoriale $m_x/m_x^2$, dove $m_x$ è l'ideale massimale dell'anello locale di $X$ in $x$.

Ma ti sembra la stanza adatta per queste "parolaccie"? [/ot][/quote]

[ot]La verità non va nascosta in nessuna stanza![/ot]

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[ot]

"j18eos":"parolaccie"

Si scrive "parolacce".[/ot]

[j18eos]

@Martino Grazie, non me ne sono proprio accorto!