Tabella 3x3 in cui disporre numeri interi non negativi
Ho il seguente problema:
Si vogliono riempire le nove caselle di una tabella 3x3 con interi non negativi, in maniera
tale da rispettare le seguenti condizioni:
• in almeno una delle caselle viene inserito il numero 3;
• la somma dei numeri in ciascuna riga è 3;
• la somma dei numeri in ciascuna colonna è 3.
In quanti modi differenti possiamo riempire la tabella?
(A) 18 (B) 24 (C) 27 (D) 30 (E) 36
Ho ragionato così: abbiamo una successione di numeri a,b,c,d,e,f,g,h,i (sulla griglia la a l'ho messa in alto a sinistra e le altra a seguire da sinistra verso destra) e si deve avere che o a, o b, o c,o...o i siano uguali a 3; inoltre vale anche che a+b+c=d+e+f=g+h+i=3 e che a+d+g=b+e+h=c+f+i=3. Visualizzando la questione sulla griglia stessa sono giunto alla conclusione che quando il 3 occupa un certo posto la colonna e la riga in cui si trova devono avere necessariamente tutti 0 oltre il 3(così sono rispettate le condizioni di somma per le righe e per le colonne). Dunque si tratta di disporre la coppia (1;2) (infatti 1+2=3) nelle restanti quattro caselle (con ripetizioni) rispettando sempre le ipotesi, e credo che le uniche possibili combinazioni siano 1,2,2,1 (sempre inserite da sinistra verso destra) oppure 2,1,1,2. Fissato quindi il 3 in una casella, le possibili combinazioni nelle altre sono 2. A questo punto essendoci la possibilità di "spostare" il 3 per nove volte(perché deve essere in almeno una casella), avrò per ognuna due combinazioni, e cioè in tutto 2*9=18 combinazioni.
Non avendo la conferma del risultato, voi che ne dite?
Si vogliono riempire le nove caselle di una tabella 3x3 con interi non negativi, in maniera
tale da rispettare le seguenti condizioni:
• in almeno una delle caselle viene inserito il numero 3;
• la somma dei numeri in ciascuna riga è 3;
• la somma dei numeri in ciascuna colonna è 3.
In quanti modi differenti possiamo riempire la tabella?
(A) 18 (B) 24 (C) 27 (D) 30 (E) 36
Ho ragionato così: abbiamo una successione di numeri a,b,c,d,e,f,g,h,i (sulla griglia la a l'ho messa in alto a sinistra e le altra a seguire da sinistra verso destra) e si deve avere che o a, o b, o c,o...o i siano uguali a 3; inoltre vale anche che a+b+c=d+e+f=g+h+i=3 e che a+d+g=b+e+h=c+f+i=3. Visualizzando la questione sulla griglia stessa sono giunto alla conclusione che quando il 3 occupa un certo posto la colonna e la riga in cui si trova devono avere necessariamente tutti 0 oltre il 3(così sono rispettate le condizioni di somma per le righe e per le colonne). Dunque si tratta di disporre la coppia (1;2) (infatti 1+2=3) nelle restanti quattro caselle (con ripetizioni) rispettando sempre le ipotesi, e credo che le uniche possibili combinazioni siano 1,2,2,1 (sempre inserite da sinistra verso destra) oppure 2,1,1,2. Fissato quindi il 3 in una casella, le possibili combinazioni nelle altre sono 2. A questo punto essendoci la possibilità di "spostare" il 3 per nove volte(perché deve essere in almeno una casella), avrò per ognuna due combinazioni, e cioè in tutto 2*9=18 combinazioni.
Non avendo la conferma del risultato, voi che ne dite?
Risposte
Il tuo ragionamento è giusto se c'è un unico 3, ma il testo dice "almeno un 3" e potrebbero anche essercene tre, uno per ogni riga e colonna (gli altri numeri sono tutti zero, in accordo col fatto che il testo parla di numeri non negativi, non di numeri positivi).
In questo caso ci sono altre 6 tabelle possibili, per in totale di 24.
In questo caso ci sono altre 6 tabelle possibili, per in totale di 24.
Giusto, non ci avevo pensato! Grazie mille per la risposta
Stavo ripensando al problema e..., oltre alle 18 combinazioni (supponendo un solo 3) ne ho effettivamente contate altre 2, supponendo tre 3 posti in diagonale (e in tutte le altre caselle 0) per le due diagonali. Ho provato a costruirne qualcuna con due 3 sempre in diagonale ma ricado nel caso di tre 3. Ora in effetti dato che i 3 sono indistinguibili ho supposto che l'ordine non conti, allora sono 20 combinazioni, ma tale opzione è assente. Supponendo però che i 3 siano "diversi", numerandoli cioè così: 3(a),3(b),3(c), per ogni diagonale ho 3! combinazioni, cioè 12 per tutte e due le diagonali, e con questo arrivo a 30. Però non sento questo risultato corretto, in quanto nonostante prima avessi due 2 e due 1 non ho fatto la stessa cosa di "diversificare" i due e gli uno. Però non capisco nemmeno la presenza di 24 combinazioni( cioè a partire dalle 18 ne conto due in diagonale non 6)... Scusatemi per l'ulteriore domanda! 
Non è necessario che i 3 siano sulle diagonali. Senza disturbare combinazioni e simili, puoi ragionare così:
Nella prima riga, il 3 può essere in qualsiasi posto: 3 possibilità.
Nella seconda riga, il 3 può essere in una delle altre colonne: 2 possibilità.
La terza riga è obbligata: il 3 è nella colonna non ancora usata.
In totale, $3*2=6$ possibilità-
Nella prima riga, il 3 può essere in qualsiasi posto: 3 possibilità.
Nella seconda riga, il 3 può essere in una delle altre colonne: 2 possibilità.
La terza riga è obbligata: il 3 è nella colonna non ancora usata.
In totale, $3*2=6$ possibilità-
Ho capito, grazie mille!
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