Successione di diagonali
Questo problema mi è venuto in mente mentre facevo la doccia. L'idea è questa: prendete un quadrato di lato 1 e tracciatene la diagonale, costruite un parallelogramma ( che chiameremo p1) che abbia come base la base del quadrato e come lato obliquo la diagonale del quadrato, ora tracciate la diagonale di p1 e costruite un parallelogramma (che chiameremo p2) che abbia come base la base del quadrato iniziale e come lato obliquo la diagonale di p1, ripetete ora questo procedimento all'infinito. A quanto tende a infinito:
la diagonale;
l'area del parallelogramma;
l'angolo formato dalla diagonale e dalla base.
PS. Non so la soluzione e se sono fattibili le domande
Buon lavoro!
la diagonale;
l'area del parallelogramma;
l'angolo formato dalla diagonale e dalla base.
PS. Non so la soluzione e se sono fattibili le domande
Buon lavoro!
Risposte
Suppongo che parlando di diagonale di p1 tu intenda la diagonale maggiore, e così per gli altri parallelogrammi; se è così, le tue domande hanno una risposta facile, senza necessità di calcoli. Non dico altro per non togliere divertimento.
Se non erro:
A infinito, perché continui a sommare (vettorialmente) il lato.
Rimane sempre 1, perché base e altezza restano fissi.
A 0° (è ila tangente inversa del rapporto lato/diagonale, che tende a 0).
"Il Pitagorico":
A quanto tende a infinito:
la diagonale;
A infinito, perché continui a sommare (vettorialmente) il lato.
l'area del parallelogramma;
Rimane sempre 1, perché base e altezza restano fissi.
l'angolo formato dalla diagonale e dalla base.
A 0° (è ila tangente inversa del rapporto lato/diagonale, che tende a 0).
"giammaria":
Suppongo che parlando di diagonale di p1 tu intenda la diagonale maggiore, e così per gli altri parallelogrammi; se è così, le tue domande hanno una risposta facile, senza necessità di calcoli. Non dico altro per non togliere divertimento.
esatto, non ci avevo pensato, l'ho dato troppo per scontato.
A Caernorhabditis: è esatto tutto, ho domanda da farti, ma come è possibile che l'angolo sia 0°? Non riesco a capacitarmene, è dovuto al fatto che il procedimento si ripete infinite volte?
"Il Pitagorico":
A Caernorhabditis: è esatto tutto, ho domanda da farti, ma come è possibile che l'angolo sia 0°? Non riesco a capacitarmene, è dovuto al fatto che il procedimento si ripete infinite volte?
Non è mai 0°. Tende a 0° quando il numero di iterazioni tende ad infinito.
Quindi è qualcosa?
"Il Pitagorico":
Quindi è qualcosa?
All' $n$-esima iterazione, è $ \tan^{-1} \ ( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \ ) $.
Continuando a ripetere il processo non sarà mai possibile che l'angolo formato dalla diagonale e dalla base sia di 0°. Tuttavia, dato che lo ripeti infinite volte, puoi dire che l'angolo tende a 0°. Per intenderci, supponiamo che l'angolo si dimezza ogni volta. Se dimezzi infinite volte, a quanto tenderà l'angolo? È chiaro che non potrà che tendere a 0: $1/(2^infty) -> 0$
Ho capito grazie! ma ho un'ultima domanda, l'angolo tende a zero ma non è mai realmente zero, è un infinitesimo?
"Il Pitagorico":
Ho capito grazie! ma ho un'ultima domanda, l'angolo tende a zero ma non è mai realmente zero, è un infinitesimo?
Almeno se non tiri in mezzo l'analisi non standard, non esistono infinitesimi. Ad ogni ripetizione del processo, l'angolo ha un determinato valore, che diminuisce sempre di più tante più volte lo ripeti, e si avvicina indefinitamente a 0.
Grazie, ora ho capito!
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