Successione

[Pachisi]

Sia $x_1,x_2,x_3,...$ una successione con $x_1=1, x_2=5$. Sia $x_{n+1}= x_n/2+x_{n-1}-x_{n-1}^2/(2x_n)$ per $n \geq 2$. Trovare $\lim_{n\rightarrow \infty} x_n$.

[dan952]

Dopo un esame qualitativo direi 3, confermi?

[Pachisi]

Si, confermo

[dan952]

OK allora vediamo di spiegarlo in modo quantitativo

dopo un po di passaggi pallosi se ho fatto bene i conti viene fuori che $2x_n=\frac{x_n^2-x_{n-1}^2}{x_{n+1}-x_{n-1}}$ cioè $2x_n(x_{n+1}-x_{n-1})=x_{n}-x_{n-1}^2$ sommando "telescopicamente" e chiamando $l$ il limite, viene fuori $2l^2-10=l^2-1$ da cui $l=3$ proprio perché i termini della serie si trovano tutti nella intervallo [1,5]

[Pachisi]

Ok
Una sola cosa: è $x_n^2$ nella seconda riga, giusto?

[dan952]

Si si scusami purtroppo è stata una svista e non ho scritto l'esponente

[xXStephXx]

Forse prima di fare quel passaggio bisogna accertarsi che il limite esiste davvero, altrimenti rischio di trovare un limite che non esiste (?)

Ad esempio nella successione $x_1=1$, $x_n=-x_{n-1}$ risolvendo $l=-l$ trovo $l=0$ che però non è il limite.
Oppure boh $x_1=7$, $x_n=x_{n-1}^2-2$ mi da $l=l^2-2$ quando invece è chiaramente $+\infty$

[dan952]

@Steph

Il primo esempio è una successione indeterminata se $x_1!=0$, nel secondo dipende anche lei dal valore iniziale per esempio, con $x_1=2$ converge a 2. La nostra (quella di pachisi) converge perché è di Cauchy (in $\RR^n$ è condizione necessaria e sufficiente), lo si vede con un'analisi qualitativa , infatti altro non è che il metodo di Newton applicato ad una successione di parabole del tipo $(x-x_{n-1})^2/2$

[Erasmus_First]

"Pachisi":Sia $x_1,x_2,x_3,...$ una successione con $x_1=1, x_2=5$. Sia $x_{n+1}= x_n/2+x_{n-1}-x_{n-1}^2/(2x_n)$ per $n \geq 2$. Trovare $\lim_{n\rightarrow \infty} x_n$.

Ho trovato che la successione è questa:
$x_1 = 1$ $^^$ per ogni $n$ intero positivo $x_(n+1) = 3·p_n/(p_n - 2)$
dove i $p_n$ sono i numeri di Fermat i quali valgono:
$p_n = 2^(2^n) + 1$ per ogni naturale $n$; e in particolare;
$p_0 = 3$; $p_1 = 5$; $p_2 = 17$; $p_3 = 257$; $p_4 = 65537$; ...

La successione è dunque:
$x_1 = 1$ $^^$ $x_(n+1) =3·(2^(2^n) + 1)/(2^(2^n) - 1)$ per ogni intero $n≥1$.

Il limite per $n$ tendente all'infinito è evidentemente 3 dato che i numeri di Fermat $p_n$ tendono all'infinito al crescere dell'indice ... e lo fanno con una velocità enorme!

Come già fatto da dan95, si trova la legge di ricorrenza:
$2x_(n+1)·x_n - 2x_n·x_(n-1) = x_n^2 - x_(n-1)^2$ (per ogni intero $n ≥ 2$) (*)
Questa è una legge di ricorrenza "di ordine 2" nel senso che permette, noti due termini consecutivi, di trovare il termine successivo.
Con essa, conoscendo $x_1 = 1$ e $x_2 = 5$, si trova ricorrentemente:
$x_3 = 17/5; x_4 = 257/85; x_5 = 65537/21845$; ...
Si noti che per tali valori si ha anche:
$x_2 = 5 = 3·5/3 = 3·5/(5-2) = 3·(2^(2^1) + 1)/(2^(2^1) –1)$;
$x_3 = 17/5 = 3·17/(3·5) = 3·17/(17-2) = 3·(2^(2^2) + 1)/(2^(2^2) –1)$;
$x_4 = 257/85 = 3·257/(3·5·17) = 3·257/(257 – 2) =3·(2^(2^3) + 1)/(2^(2^3) –1)$;
$x_5 = 65537/21845 = 3·65537/(3·5·17·257) = 3·65537/(65537 - 2) =3·(2^(2^4) + 1)/(2^(2^4) –1)$.

Se si provasse che in generale risulta
$x_(n+1) = 3·(2^(2^n) +1)/(2^(2^n) - 1)$ (H)
non solo sarebbe immediato (perché evidente) che il limnite della successione è 3, ma si sarebbe trovata anche la legge intensiva della successione, (ossia il termine corrente $x_n$ come funzione esplicita dell'indice $n$.
E' questo l'obiettivo della presente discussione

Dalla stessa (*) si può ricavare una legge di ricorrenza "di ordine 1" che permette cioè di ricavare ogni termine successivo ad $x_1$ in funzione del precedente.
Infine, da questa legge di ricorrenza di ordine 1 si trova la conferma dell'ipotesi (H).

Ecco come procedo:

1) Metto $n+1$ al posto di $n$ nella (*) e trovo:
$2x_(n+2)·x_(n+1) - 2x_(n+1)·x_n = x_(n+1)^2 - x_n^2$
che sommata membro a membro alla (*) dà
$2x_(n+2)·x_(n+1) - 2x_n·x_(n-1) = x_(n+1)^2 - x_(n-1)^2$ (1).

2) Metto $n+2$ al posto di $n$ nella (*) e trovo:
$2x_(n+3)·x_(n+2) - 2x_(n+2)·x_(n+1) = x_(n+2)^2 - x_(n+1)^2$
che sommata membro a membro alla (1) dà
$2x_(n+3)·x_(n+2) - 2x_n·x_(n-1) = x_(n+2)^2 - x_(n-1)^2$ (2).

3) Metto $n+3$ al posto di $n$ nella (*) e trovo:
$2x_(n+4)·x_(n+3) - 2x_(n+3)·x_(n+2) = x_(n+3)^2 - x_(n+2)^2$
che sommata membro a membro alla (2) dà
$2x_(n+4)·x_(n+3) - 2x_n·x_(n-1) = x_(n+3)^2 - x_(n-1)^2$ (3).

Continuando così (e usando quindi il criterio di induzione completa di Peano) trovo che per ogni intero $k >0$ e per ogni intero $n > 1$ vale la legge:
$2x_(n+k)·x_(n+k-1) - 2x_n·x_(n-1) = x_(n+k-1)^2 - x_(n-1)^2$.
In particolare, per $n = 2$ ed essendo $x_2 = 5$ e $x_1 = 1$:
$2x_(k+2)·x_(k+1) - 2x_2·x_1 = x_(k+1)^2 - x_1^2 => 2x_(k+2)·x_(k+1) - 10 = x_(k+1)^2 - 1 =>$
$=> x_(k+2) = (9 + x_(k+1)^2)/(2x_(k+1)$ (**)

Per controllo, calcolo alcuni termini con questa nuova legge di ricorrenza di ordine 1.
Anche se essa è stata ricavata per $k >0$, conoscendo soltanto $x_1= 1$, per $k = 0$ la legge mi dà
$x_2 = (9 + x_1^2)/(2·x_1)=(9 + 1^2)/(2·1) = 10/2 = 5 = 3·5/(5–2) = 3·(2^(2^1)+1)/(2^(2^1) – 1)$;
E poi, proseguendo, mi ritrovo per $x_3$, $x_4$ e $x_5$ i valori già trovati con la legge di ricorrenza di ordine 2 (*), ossia:
$x_3 = (9 + 5^2)/(2*5) = 34/10 = 17/5 = 3·17/(3·5) = 3·17/(17-2) = 3·(2^(2^2)+1)/(2^(2^2)-1)$;
$x_4 = (9 + 9·(17/15)^2)/(2·3·17/15) = 3·257/(3·5·17) =3·257/(257-2)= 3·(2^(2^3)+1)/(2^(2^3)-1)$;
$x_5 = ... = 3(1 + (257/255)^2)/(2·257/255)= ... = 3·35567/(3*5*17*257)=3·35567/(35567-2) = 3·(2^(2^4)+1)/(2^(2^4)-1)$;
...

Dimostro infine (col criterio di induzione completa di Peano) che la legge ipotizzata (H)
$x_1=1$ $^^$ $x_n+1= 3·(2^(2^n)+1)/(2^(2^n)-1)$ (per $n$ intero maggiore di 1)
che va bene per $n$ compreso tra 2 e 5 inclusi va bene per ogni intero $n$ maggiore di 1.
Fer fare questa dimostrazione uso il criterio di induzione completa di Peano.

Supponiamo che la legge (H) vada bene per $1 < n ≤ k$. ì Se il fatto che la legge sia valida per $n = k$ comporta che è valida per $n = k+1$, allora la legge va bene per ogni $n > 1$.
Che validità della legge per $n = k$ comporti la validità della stessa per $n = k +1$ si ricava facilmente dalla (**). Infatti:
$x_(k+1) = (9 + 9·((2^(2^k)+1)/(2^(2^k)-1))^2)/(2·3·(2^(2^k)+1)/(2^(2^k)-1)) =
3(1 +((2^(2^k)+1)/(2^(2^k)-1))^2)/(2·(2^(2^k)+1)/(2^(2^k)-1)) =
3·((2^(2^(k+1)) - 2·2^(2^k) + 1) +(2^(2^(k+1)) + 2·2^(2^k) + 1))/(2·(2^(2^n)+1)(2^(2^n)-1)) =$
$3·2^(2^(k+1)+1)/(2^(2^(k+1)-1)$.

Indicando con $p_n$ i "numeri di Fermat":
$p_n = 2^(2^n) + 1$
(che hanno la proprietà $p_(n+1) = \∏_{k=0}^{n}+2$), la successione in questione è effettivamente:
$x_1 = 1$ $^^$ per ogni intero $n > 0$: $x_n+1 = p_n/(p_n - 2)$.

_______

[totissimus]

Dalla relazione $x_{n+1}=\frac{x_{n}}{2}+x_{n-1}-\frac{x_{n-1}^{2}}{2}$
ricaviamo
$2x_{n}x_{n+1}-x_{n}^{2}=2x_{n}x_{n-1}-x_{n-1}^{2}$
quindi posto $u_{n}=2x_{n}x_{n-1}-x_{n-1}^{2}$ si ha $u_{n+1}=u_{n}$
e la successione $u_{n}$ è costante $u_{n}=u_{2}=2x_{2}x_{1}-x_{1}^{2}=9$
Quindi
$2x_{n}x_{n-1}-x_{n-1}^{2}=9$ per $n>1$(1)
$x_{n}=\frac{x_{n-1}^{2}+9}{2x_{n-1}}$ (2)
La successione è a termini positivi.
Ricaviamo \(x_{n}^{2}-\left(x_{n}-x_{n-1}\right)^{2}=9\)
e quindi $x_{n}^{2}\geq 9$,$n>1$
Dalla (2) ricaviamo:
$0 quindi la successione $x_{n}$ è monotona con limite finito $l$ che
per (1) vale $2l^{2}-l^{2}=9$,$l^{2}=9,l=3$

Poniamo $x_{n}=\frac{A_{n}}{B_{n}}$. Sostituendo in (2) otteniamo
$\frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{A_{n-1}^{2}+9B_{n-1}^{2}}{2A_{n-1}B_{n-1}}$
Poniamo
$A_{n}=A_{n-1}^{2}+9B_{n-1}^{2}$
$B_{n}=2A_{n-1}B_{n-1}$
$A_{1}=B_{1}=1$
Da queste due relazioni ricaviamo
$A_{n}+3B_{n}=(A_{n-1}+3B_{n-1})^{2}$
quinsi se $Z_{n}=A_{n}+3B_{n}$ si ha $Z_{n}=Z_{n-1}^{2}$ e $Z_{1}=4$
Ricaviamo facilmente $Z_{n}=4^{2^{n-1}}=2^{2^{n}}$ e quindi
$A_{n}+3B_{n}=2^{2^{n}}$,$n>1$(3)
Analogamente
$A_{n}-3B_{n}=(A_{n-1}-3B_{n-1})^{2}$
e come sopra troviamo
$A_{n}-3B_{n}=2^{2^{n-1}},n>1$ (4)
Dalle (3) e (4) per addizione e sottrazione ricaviamo:
$A_{n}=\frac{2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}}{2}$ $B_{n}=\frac{2^{2^{n}}-2^{2^{n-1}}}{6}$
quindi
$x_{n}=\frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{\frac{2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}}{2}}{\frac{2^{2^{n}}-2^{2^{n-1}}}{6}}=3\frac{2^{2^{n-1}}+1}{2^{2^{n-1}}-1}$

[Pachisi]

Belle soluzioni!