Studio di un'operazione
Assegnato in un compito in classe di 1° scientifico come problema facoltativo. 
***
Problema:
Nell'insieme degli interi positivi $ZZ^+ = \{ 1,2,3,4,5, ...\}$ definisci l'operazione \(\triangle\) ('triangolino') ponendo:
\[
a \triangle b = a^b + b^a
\]
per ogni $a,b in ZZ^+$.
Ad esempio, \( 2\triangle 3 = 2^3 + 3^2 = 17\) e \(4 \triangle 1 = 4^1 + 1^4 =5\).
1. L'operazione \(\triangle\) è commutativa? È associativa?
Proponi un controesempio o, in caso affermativo, prova a dare una dimostrazione.
2. L'operazione \(\triangle\) ha un elemento neutro?
Motiva la risposta.
3. È vero che \(a \triangle 1\) coincide col successivo di $a$ per ogni $a in ZZ^+$?
Motiva la risposta.
4. L'insieme degli interi positivi pari, cioè \(\mathbb{P} = \{ 2, 4, 6, 8, \ldots\}\), è stabile rispetto a \( \triangle\)? In altre parole, è vero che se $a$ e $b$ sono pari, allora anche \(a\triangle b\) è pari?
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Problema:
Nell'insieme degli interi positivi $ZZ^+ = \{ 1,2,3,4,5, ...\}$ definisci l'operazione \(\triangle\) ('triangolino') ponendo:
\[
a \triangle b = a^b + b^a
\]
per ogni $a,b in ZZ^+$.
Ad esempio, \( 2\triangle 3 = 2^3 + 3^2 = 17\) e \(4 \triangle 1 = 4^1 + 1^4 =5\).
1. L'operazione \(\triangle\) è commutativa? È associativa?
Proponi un controesempio o, in caso affermativo, prova a dare una dimostrazione.
2. L'operazione \(\triangle\) ha un elemento neutro?
Motiva la risposta.
3. È vero che \(a \triangle 1\) coincide col successivo di $a$ per ogni $a in ZZ^+$?
Motiva la risposta.
4. L'insieme degli interi positivi pari, cioè \(\mathbb{P} = \{ 2, 4, 6, 8, \ldots\}\), è stabile rispetto a \( \triangle\)? In altre parole, è vero che se $a$ e $b$ sono pari, allora anche \(a\triangle b\) è pari?
Risposte
[ot]è commutativa. $a \Delta b= a^b + b^a$ e $b\Deltaa = b^a + a^b$. Non è associativa: $(a \Delta b)\Deltac = (a^b+b^a)^c + c^(a^b+b^a) != a\Delta(b\Deltac)=a^(b^c+c^b)+(b^c+c^b)^a$ Per esempio $(2\Delta3)\Delta4=(2^3+3^2)\Delta4 = 17^4+4^17 != 2^145+145^2 = 2\Delta(3\Delta4)$
2) Non ha elementi neutri. Infatti, se esistesse un siffatto $x$ dovrebbe soddisfare: $a\Deltax = a^x + x^a = a$, ma non esiste alcun naturale che risolva quell'equazione.
3) Equivale a chiedersi se $a\Delta1 = a+1 AA a in ZZ^+$ Vediamo: $a\Delta 1 = a^1 + 1^a = a+1$, quindi sì è vero.
4) Siano $a,b$ pari. Allora li posso scrivere così: $a=2k$, $b=2h$, con $k,h in NN$ Allora $a\Deltab=2k^(2h) + 2h^(2k)$ Elevando a potenza $n in ZZ^+$ un numero pari si ottiene sempre un numero pari (perché si conserva il fattore $2$ del numero, ad esempio in $2k^(2h)$ il $2$ viene solo moltiplicato $2h$ volte), e la somma di due numeri pari è pari, quindi l'insieme dei numeri pari è stabile rispetto a $\Delta$.[/ot]
2) Non ha elementi neutri. Infatti, se esistesse un siffatto $x$ dovrebbe soddisfare: $a\Deltax = a^x + x^a = a$, ma non esiste alcun naturale che risolva quell'equazione.
3) Equivale a chiedersi se $a\Delta1 = a+1 AA a in ZZ^+$ Vediamo: $a\Delta 1 = a^1 + 1^a = a+1$, quindi sì è vero.
4) Siano $a,b$ pari. Allora li posso scrivere così: $a=2k$, $b=2h$, con $k,h in NN$ Allora $a\Deltab=2k^(2h) + 2h^(2k)$ Elevando a potenza $n in ZZ^+$ un numero pari si ottiene sempre un numero pari (perché si conserva il fattore $2$ del numero, ad esempio in $2k^(2h)$ il $2$ viene solo moltiplicato $2h$ volte), e la somma di due numeri pari è pari, quindi l'insieme dei numeri pari è stabile rispetto a $\Delta$.[/ot]
@HowardRoark: Grazie, anche se mi pare tu non sia uno studente della secondaria...
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Problema:
In $NN = \{0,1,2,3,4,...\}$ definiamo l'operazione \(\bullet\) ponendo:
\[
a\bullet b = \operatorname{MCD}(a,b)
\]
per ogni $a,b in NN$ ed almeno uno tra $a$ e $b$ diverso da $0$.
Ad esempio, \(2\bullet 3 = 1\), \(4\bullet 14 = 2\) e \(0\bullet 12 = 12\).
1. L'operazione \(\bullet\) è commutativa? È associativa?
2. L'operazione \(\bullet\) ha qualche elemento neutro?
3. L'operazione \(\bullet\) ha qualche elemento assorbente?
4. L'operazione \(\bullet\) è distributiva rispetto a \(\cdot\)? In altri termini, è vero che:
\[
(a\cdot b) \bullet c = (a\bullet c)\cdot (b\bullet c)
\]
per ogni $a,b,c in NN$ scelti in modo che l'uguaglianza abbia senso?
5. I sottoinsiemi \(\mathbb{P}=\{0,2,4,6,\ldots\}\) e \(\mathbb{D}=\{1,3,5,7,\ldots\}\) dei numeri naturali pari e dispari sono stabili rispetto a \(\bullet\)? In altre parole, è vero che se $a,b in mathbb(P)$ [risp. $a,b in mathbb(D)$], allora \(a\bullet b \in \mathbb{P}\) [risp. \( a \bullet b \in \mathbb{D}\)]?
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Problema:
In $NN = \{0,1,2,3,4,...\}$ definiamo l'operazione \(\bullet\) ponendo:
\[
a\bullet b = \operatorname{MCD}(a,b)
\]
per ogni $a,b in NN$ ed almeno uno tra $a$ e $b$ diverso da $0$.
Ad esempio, \(2\bullet 3 = 1\), \(4\bullet 14 = 2\) e \(0\bullet 12 = 12\).
1. L'operazione \(\bullet\) è commutativa? È associativa?
2. L'operazione \(\bullet\) ha qualche elemento neutro?
3. L'operazione \(\bullet\) ha qualche elemento assorbente?
4. L'operazione \(\bullet\) è distributiva rispetto a \(\cdot\)? In altri termini, è vero che:
\[
(a\cdot b) \bullet c = (a\bullet c)\cdot (b\bullet c)
\]
per ogni $a,b,c in NN$ scelti in modo che l'uguaglianza abbia senso?
5. I sottoinsiemi \(\mathbb{P}=\{0,2,4,6,\ldots\}\) e \(\mathbb{D}=\{1,3,5,7,\ldots\}\) dei numeri naturali pari e dispari sono stabili rispetto a \(\bullet\)? In altre parole, è vero che se $a,b in mathbb(P)$ [risp. $a,b in mathbb(D)$], allora \(a\bullet b \in \mathbb{P}\) [risp. \( a \bullet b \in \mathbb{D}\)]?
L'esercizio è IMHO stupendo nel contesto di riferimento (primo anno di scuola superiore), ma mi chiedo se non sia eccessivo per un compito in classe (seppur come prova facoltativa).
Lo avrei visto perfetto per una prova di un paio d'ore da fare magari in gruppi di 4, con poi un singolo studente chiamato ad esporre tutto alla classe. Certo che chi ha risolto correttamente tutti i 4 punti in una manciata di minuti per me si merita 10... praticamente si tratta di un esercizio da fine primo capitolo del libro di Algebra I che alcuni di questi ragazzi acquisteranno tra 5 anni.
Lo avrei visto perfetto per una prova di un paio d'ore da fare magari in gruppi di 4, con poi un singolo studente chiamato ad esporre tutto alla classe. Certo che chi ha risolto correttamente tutti i 4 punti in una manciata di minuti per me si merita 10... praticamente si tratta di un esercizio da fine primo capitolo del libro di Algebra I che alcuni di questi ragazzi acquisteranno tra 5 anni.
[ot]
Grazie.
Il resto del compito, aritmetica di base con gli interi, era molto semplice, visto che la maggior parte degli studenti non ha problemi coi calcoli di base; anzi, era una prova in cui ho provato a vedere come si esprimono in lingua sfruttando domande di teoria (sulle definizioni e le proprietà delle operazioni) e problemi semplici.
Per un laboratorio così l'esercizio non va bene: è troppo semplice ed avevamo ragionato su fatti simili insieme durante le lezioni (tipo, come si comporta l'ordinaria moltiplicazione in un insieme differente, se l'insieme è chiuso rispetto all'operazione, se c'è l'elemento neutro/assorbente, etc...; o come si comporta un'operazione "diversa", tipo \(a \hat{} b = a^b\), in $ZZ^+$).
Se devo fare un'attività del genere, propongo altre cose (il più delle volte problemi di aritmetica che usano più pesantemente il calcolo letterale oppure problemi di conteggio in cui c'è da ricavare qualche formula generale).
Il problema è che i miei studenti, pur essendo in massima parte dotati, vanno a fare altro... Un po' perché hanno famiglie alle spalle che li instradano verso altri settori (avvocatura, medicina, gestione aziendale, ...) un altro po' perché i colleghi del triennio si occupano precipuamente di addestramento alla seconda prova di maturità (parole loro) e a molti studenti viene lo schifo della materia, vista l'inutile mole di calcoli e tipologie di esercizi che devono imparare a risolvere.
L'idea dell'esercizio, invece, è dare agli studenti una prospettiva verso cui muoversi.
Come ho detto in aula qualche giorno fa, proprio prima di cominciare a fare esempi "diversi" (cito a braccio, perché era un discorso improvvisato):
"marcokrt":
L'esercizio è IMHO stupendo nel contesto di riferimento (primo anno di scuola superiore), ma mi chiedo se non sia eccessivo per un compito in classe (seppur come prova facoltativa).
Grazie.
Il resto del compito, aritmetica di base con gli interi, era molto semplice, visto che la maggior parte degli studenti non ha problemi coi calcoli di base; anzi, era una prova in cui ho provato a vedere come si esprimono in lingua sfruttando domande di teoria (sulle definizioni e le proprietà delle operazioni) e problemi semplici.
"marcokrt":
Lo avrei visto perfetto per una prova di un paio d'ore da fare magari in gruppi di 4, con poi un singolo studente chiamato ad esporre tutto alla classe.
Per un laboratorio così l'esercizio non va bene: è troppo semplice ed avevamo ragionato su fatti simili insieme durante le lezioni (tipo, come si comporta l'ordinaria moltiplicazione in un insieme differente, se l'insieme è chiuso rispetto all'operazione, se c'è l'elemento neutro/assorbente, etc...; o come si comporta un'operazione "diversa", tipo \(a \hat{} b = a^b\), in $ZZ^+$).
Se devo fare un'attività del genere, propongo altre cose (il più delle volte problemi di aritmetica che usano più pesantemente il calcolo letterale oppure problemi di conteggio in cui c'è da ricavare qualche formula generale).
"marcokrt":
Certo che chi ha risolto correttamente tutti i 4 punti in una manciata di minuti per me si merita 10... praticamente si tratta di un esercizio da fine primo capitolo del libro di Algebra I che alcuni di questi ragazzi acquisteranno tra 5 anni.
Il problema è che i miei studenti, pur essendo in massima parte dotati, vanno a fare altro... Un po' perché hanno famiglie alle spalle che li instradano verso altri settori (avvocatura, medicina, gestione aziendale, ...) un altro po' perché i colleghi del triennio si occupano precipuamente di addestramento alla seconda prova di maturità (parole loro) e a molti studenti viene lo schifo della materia, vista l'inutile mole di calcoli e tipologie di esercizi che devono imparare a risolvere.
L'idea dell'esercizio, invece, è dare agli studenti una prospettiva verso cui muoversi.
Come ho detto in aula qualche giorno fa, proprio prima di cominciare a fare esempi "diversi" (cito a braccio, perché era un discorso improvvisato):
Ragazzi, voi vivete in un recinto matematico in cui gli animali presenti, che sono le operazioni, sono abbastanza addomesticate e docili, hanno tutte le stesse proprietà o quasi, e riuscite bene a maneggiarle; ma fuori dal vostro recinto ci sono bestie più 'strane'... Capiamoci, non è niente che voi già non sappiate, perché qualche animale 'strano' ce l'avete già o ha già fatto qualche capatina nel vostro recinto: ad esempio, la divisione esatta ha senso se dividendo e divisore sono ordinati in un modo, ma non nell'altro; la divisione col resto produce due risultati, invece che uno; la potenza è un'operazione non commutativa; etc... La Matematica vi offre un modo per addomesticare anche questo tipo di operazioni o, quanto meno, per non averne paura.[/ot]
Davvero ammirato, mi piace molto il tuo approccio... matematica/algebra "vera" che raramente si vede al liceo.
Però non ho ben capito se hai proposto questa prova a ragazzi che sono al liceo da appena un mese e mezzo (essendo a fine ottobre) o parli in generale e magari la prova si è svolta in un periodo diverso dell'anno?
In entrambi i casi, per risolvere questi esercizi credo sia necessario saper già pensare in modo matematico, cosa diversa dall'applicare formulette, memorizzare semplici algoritmi e via dicendo.
Non so se è eccessivo, ma cosa ne penseresti in futuro di proporre ad esempio cose come $x^{x^{x^{\cdots}}}=2$?
Però non ho ben capito se hai proposto questa prova a ragazzi che sono al liceo da appena un mese e mezzo (essendo a fine ottobre) o parli in generale e magari la prova si è svolta in un periodo diverso dell'anno?
In entrambi i casi, per risolvere questi esercizi credo sia necessario saper già pensare in modo matematico, cosa diversa dall'applicare formulette, memorizzare semplici algoritmi e via dicendo.
Non so se è eccessivo, ma cosa ne penseresti in futuro di proporre ad esempio cose come $x^{x^{x^{\cdots}}}=2$?
[ot]
Grazie.
Ma il punto è proprio quello: se non è "vera", che si fa a fare?
Certo, l'algebra del liceo scientifico è toolbox per le altre discipline (Fisica, ovviamente, ma anche Scienze e Disegno); ma ridurre tutto solo a quello -fin dal biennio- è svilente per il docente[nota]A meno che il docente non abbia un particolare feticismo per le scatole degli attrezzi tipo quelli della Beta...
[/nota] ed appiattente per la materia... Poi ci si lamenta che ai ragazzi non piace la Matematica: e grazie a Orazio!
Primo compito in classe della prima.
Già... C'è da lavorare, usualmente, ma all'inizio i ragazzi sono molto motivati.
A quelli di seconda propongo, come approfondimento, roba sui radicali innestati infiniti... Queste cose con le torri di potenze non mi è ancora capitato, ma può essere simpatico da fare. Tuttavia per uno studente di prima non è ancora molto digeribile l'idea di un'operazione iterata infinite volte, quindi bisogna preparare il terreno.
Ci devo pensare.[/ot]
"marcokrt":
Davvero ammirato, mi piace molto il tuo approccio... matematica/algebra "vera" che raramente si vede al liceo.
Grazie.
Ma il punto è proprio quello: se non è "vera", che si fa a fare?
Certo, l'algebra del liceo scientifico è toolbox per le altre discipline (Fisica, ovviamente, ma anche Scienze e Disegno); ma ridurre tutto solo a quello -fin dal biennio- è svilente per il docente[nota]A meno che il docente non abbia un particolare feticismo per le scatole degli attrezzi tipo quelli della Beta...
[/nota] ed appiattente per la materia... Poi ci si lamenta che ai ragazzi non piace la Matematica: e grazie a Orazio!"marcokrt":
Però non ho ben capito se hai proposto questa prova a ragazzi che sono al liceo da appena un mese e mezzo (essendo a fine ottobre) o parli in generale e magari la prova si è svolta in un periodo diverso dell'anno?
Primo compito in classe della prima.
"marcokrt":
In entrambi i casi, per risolvere questi esercizi credo sia necessario saper già pensare in modo matematico, cosa diversa dall'applicare formulette, memorizzare semplici algoritmi e via dicendo.
Già... C'è da lavorare, usualmente, ma all'inizio i ragazzi sono molto motivati.
"marcokrt":
Non so se è eccessivo, ma cosa ne penseresti in futuro di proporre ad esempio cose come $x^{x^{x^{\cdots}}}=2$?
A quelli di seconda propongo, come approfondimento, roba sui radicali innestati infiniti... Queste cose con le torri di potenze non mi è ancora capitato, ma può essere simpatico da fare. Tuttavia per uno studente di prima non è ancora molto digeribile l'idea di un'operazione iterata infinite volte, quindi bisogna preparare il terreno.
Ci devo pensare.[/ot]
Capisco e sì, forse come proposta di esercizio potrebbe essere eccessiva (e di certo i logaritmi andrebbero padroneggiati già in anticipo). Ho proposto quel quesito perché lo trovo uno spunto eccezionale per approfondire in tantissime direzioni, arrivando poi a costruzioni ulteriori che le sottendono e che considero un ottimo test per far emergere il talento innato dei ragazzi, come quelle che ho proposto in questa vecchia live:
https://www.youtube.com/watch?v=c4JWaHibUZk
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