Stesso numero di lati
Visto che nessuno (almeno recentemente) propone un esercizio di combinatoria, eccovi un problemino carino da Cesenatico 1998:
Che oltre ad essere interessante da risolvere è a mio avviso un bel risultato non scontato.
Si dimostri che in ogni poliedro convesso ci sono almeno due facce con lo stesso numero di lati.
Che oltre ad essere interessante da risolvere è a mio avviso un bel risultato non scontato.
Risposte
Ci rifletterò meglio,ma a naso il calcolo combinatorio è un mezzo sovrabbondante per la risoluzione del quesito
(i.e. possono rispondervi pure studenti che non abbiano ancora affrontato l'argomento..);
in fondo,detto $n$($in NN setminus {1,2,3}$..)il numero di facce dell'arbitrario poliedro convesso $P$,si tratta di osservare che ognuna di esse ha,
al più,$n-1$ spigoli in comune con le rimanenti
(proprio per la convessità del solido in questione..):
se allora ordiniamo le facce in "senso non crescente",
cioè partendo da una qualunque che abbia in comune con le altre il numero massimo di spigoli e facendo in modo tale che ad ognuna delle successive s'associ il numero di facce che hanno spigoli in comune con le altre
(ma che,è fondamentale,siano distinti da quelli che la precedente aveva in comune con le altre..),
avremmo $n$ numeri,tutti tra $0$ ed $n-1$ la cui somma deve dare proprio $n$.
E ciò,non è difficile avvedersene procedendo per assurdo,importa che due non nulli tra tali devono essere uguali
(di solito questa proprietà è detta "teorema dei piccioni e dei nidi",
nel senso che,se ad esempio 10 piccioni devono entrare in 9 nidi,in almeno uno d'essi ci sarà più d'un piccione..):
a quel punto basterà osservare che il numero di spigoli che una faccia ha in comune con le altre è proprio il numero dei suoi lati,ed il dado è tratto..
Saluti dal web.
(i.e. possono rispondervi pure studenti che non abbiano ancora affrontato l'argomento..);
in fondo,detto $n$($in NN setminus {1,2,3}$..)il numero di facce dell'arbitrario poliedro convesso $P$,si tratta di osservare che ognuna di esse ha,
al più,$n-1$ spigoli in comune con le rimanenti
(proprio per la convessità del solido in questione..):
se allora ordiniamo le facce in "senso non crescente",
cioè partendo da una qualunque che abbia in comune con le altre il numero massimo di spigoli e facendo in modo tale che ad ognuna delle successive s'associ il numero di facce che hanno spigoli in comune con le altre
(ma che,è fondamentale,siano distinti da quelli che la precedente aveva in comune con le altre..),
avremmo $n$ numeri,tutti tra $0$ ed $n-1$ la cui somma deve dare proprio $n$.
E ciò,non è difficile avvedersene procedendo per assurdo,importa che due non nulli tra tali devono essere uguali
(di solito questa proprietà è detta "teorema dei piccioni e dei nidi",
nel senso che,se ad esempio 10 piccioni devono entrare in 9 nidi,in almeno uno d'essi ci sarà più d'un piccione..):
a quel punto basterà osservare che il numero di spigoli che una faccia ha in comune con le altre è proprio il numero dei suoi lati,ed il dado è tratto..
Saluti dal web.
E questa cos'è se non combinatoria? 
Comunque, riassumendo brevemente:
Se ho $n$ facce, ogni faccia può avere un numero di lati che va da $3$ a $n-1$, cioè ho $n-3$ valori possibili.
Ma le facce sono $n$ quindi quei $n-3$ valori non bastano per assegnarne uno diverso a ogni faccia. Segue la tesi.
Comunque, riassumendo brevemente:
Se ho $n$ facce, ogni faccia può avere un numero di lati che va da $3$ a $n-1$, cioè ho $n-3$ valori possibili.
Ma le facce sono $n$ quindi quei $n-3$ valori non bastano per assegnarne uno diverso a ogni faccia. Segue la tesi.
Ho capito:
per "combinatoria" tu intendi ogni ragionamento a fini enumerativi
(compresi quelli del calcolo combinatorio classico..)!
Per il resto ovviamente hai ragione,nella sintesi:
solo che non tutti i ragazzi delle superiori hanno la tua padronanza del teorema dei piccioni,
ed ho preferito introdurlo in modo un pò più didattico a chi non fosse mai stato costretto a rifletterci sù
.
Saluti dal web.
per "combinatoria" tu intendi ogni ragionamento a fini enumerativi
(compresi quelli del calcolo combinatorio classico..)!
Per il resto ovviamente hai ragione,nella sintesi:
solo che non tutti i ragazzi delle superiori hanno la tua padronanza del teorema dei piccioni,
ed ho preferito introdurlo in modo un pò più didattico a chi non fosse mai stato costretto a rifletterci sù
.Saluti dal web.
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