Spazio = velocità
Non so se è un classico, oppure se è già stato proposto qui, in ogni caso mi è venuto in mente oggi:
Una macchinina si trova sulla retta dei numeri reali e in ogni istante la sua velocità è uguale alla sua posizione sulla retta.
Qual è la sua velocità media nel percorrere l'intervallo $[a,b]$?
($0
Nota: potrebbe essere necessario qualche concetto non elementare... (pochi, e molto facili)
Una macchinina si trova sulla retta dei numeri reali e in ogni istante la sua velocità è uguale alla sua posizione sulla retta.
Qual è la sua velocità media nel percorrere l'intervallo $[a,b]$?
($0
Nota: potrebbe essere necessario qualche concetto non elementare... (pochi, e molto facili)
Risposte
mi ha sorpreso sia la nota sia la collocazione, cosa che non mi lascia ben sperare sulla mia elementare interpretazione:
non si tratta di un moto rettilineo uniformemente accelerato in cui risulta che la velocità media è la media tra la velocità iniziale e quella finale, per cui la risposta sarebbe $(a+b)/2$ ?
non si tratta di un moto rettilineo uniformemente accelerato in cui risulta che la velocità media è la media tra la velocità iniziale e quella finale, per cui la risposta sarebbe $(a+b)/2$ ?
Mi dispiace, ma la risposta non è corretta.
mi pareva ovvio che non potesse essere così, ma forse dovresti dire qualcosa di più, altrimenti continua a sembrarmi banale oppure con dati insufficienti. che cosa significa in quel contesto la frase "in ogni istante"?
Significa che quando la macchinina si trova in posizione $x$, la sua velocità istantanea è uguale a $x$.
Forse ti inganna il fatto che la velocità varia in funzione dello spazio, non in funzione del tempo trascorso (come siamo abituati a considerare).
Forse ti inganna il fatto che la velocità varia in funzione dello spazio, non in funzione del tempo trascorso (come siamo abituati a considerare).
Usando le equazioni differenziali io arrivo a dire che la velocità media è
$v_m=(b-a)/(lnb-lna)$
e mi sembra improbabile che un simile risultato possa essere ottenuto con le sole conoscenze delle superiori.
@ milizia96: puoi confermare che la cosa è fattibile e dire se il mio risultato è giusto?
$v_m=(b-a)/(lnb-lna)$
e mi sembra improbabile che un simile risultato possa essere ottenuto con le sole conoscenze delle superiori.
@ milizia96: puoi confermare che la cosa è fattibile e dire se il mio risultato è giusto?
a dire il vero, era proprio questo che intendevo nella domanda: istante di tempo?
io invece nello schema mentale che mi aveva portato a dare la risposta immaginavo un segmento nel piano cartesiano di estremi $A(a;a)$ e $B(b;b)$. dunque questa interpretazione dovrebbe essere corretta ... o neanche questa lo è?
io invece nello schema mentale che mi aveva portato a dare la risposta immaginavo un segmento nel piano cartesiano di estremi $A(a;a)$ e $B(b;b)$. dunque questa interpretazione dovrebbe essere corretta ... o neanche questa lo è?
@giammaria
Confermo che è fattibile
@adaBTTLS
certo, in ogni istante di tempo (istante di cosa altrimenti?
)
Aspetta, forse intendevi dire segmento $A(a,0)B(b,0)$?
Confermo che è fattibile
@adaBTTLS
certo, in ogni istante di tempo (istante di cosa altrimenti?
)Aspetta, forse intendevi dire segmento $A(a,0)B(b,0)$?
"milizia96":
@adaBTTLS
certo, in ogni istante di tempo (istante di cosa altrimenti?
Aspetta, forse intendevi dire segmento $A(a,0)B(b,0)$?
no... $v(x)=x$, quindi ... perché $0$ ?
Ah, se intendevi nel grafico spazio - velocità, allora sì: il grafico è proprio quel segmento. Scusa se non avevo colto al volo.
non ti preoccupare, anzi la questione è proprio su come si inserisce il tempo nel discorso. i punti che intendevi tu in quale grafico andrebbero inseriti?
Erano semplicemente il punto di partenza e di arrivo dell'automobile.
Comunque metto in spoiler le uniche cose non elementari che ho usato io:
Comunque metto in spoiler le uniche cose non elementari che ho usato io:
sì, scusami, prima ho dovuto interrompere. è evidente che avevo fatto un po' di confusione con i diagrammi.
nel frattempo era anche arrivata la risposta di giammaria. visto però che il tuo ultimo hint lascia intendere che il semplice considerare la proprietà della funzione esponenziale possa permettere di trovare il risultato senza impostare né risolvere (magari sottintendendola) l'equazione differenziale, scrivo qualche passaggio delle due funzioni (spazio - velocità) in funzione del tempo:
$s(t)=v(t)=e^t$
$s_([a,b])=int_(t_1)^(t_2) e^t dt =[e^(t_2)-e^(t_1)]=b-a$, essendo $a=e^(t_1)," " b= e^(t_2)$, e quindi $t_1 = ln a," " t_2 = ln b$
$v_m = s/t =[e^(t_2)-e^(t_1)]/(t_2-t_1)=(b-a)/(ln b-ln a)$, come aveva già trovato giammaria.
nel frattempo era anche arrivata la risposta di giammaria. visto però che il tuo ultimo hint lascia intendere che il semplice considerare la proprietà della funzione esponenziale possa permettere di trovare il risultato senza impostare né risolvere (magari sottintendendola) l'equazione differenziale, scrivo qualche passaggio delle due funzioni (spazio - velocità) in funzione del tempo:
$s(t)=v(t)=e^t$
$s_([a,b])=int_(t_1)^(t_2) e^t dt =[e^(t_2)-e^(t_1)]=b-a$, essendo $a=e^(t_1)," " b= e^(t_2)$, e quindi $t_1 = ln a," " t_2 = ln b$
$v_m = s/t =[e^(t_2)-e^(t_1)]/(t_2-t_1)=(b-a)/(ln b-ln a)$, come aveva già trovato giammaria.
Sì, una soluzione come quella di adaBTTLS è alla portata di uno studente delle superiori, ma un suo compagno particolarmente attento potrebbe obiettare che non è detto che $s(t)=e^t$ sia l'unica soluzione. Dovremmo anticipare parte della teoria sulle equazioni differenziali per dimostrargli che effettivamente ce ne sono altre, ma tutte date da $s(t)=Ae^t$ e che tutte originano la stessa formula finale.
O forse milizia96 ha visto un modo per superare anche questo scoglio?
O forse milizia96 ha visto un modo per superare anche questo scoglio?
sono d'accordo con giammaria.
anzi, io volevo proporre due integrali, uno da $0$ a $t_1$ e uno da $0$ a $t_2$, e in questi sarebbe comparso un termine $1$ che sì, si sarebbe semplificato con la differenza, ma avrebbe comunque avuto bisogno di un chiarimento almeno in termini di significato fisico.
l'unica cosa che può rispondere, solo in parte, all'obiezione potrebbe essere la definizione di integrale indefinito, che permetterebbe di dare un'idea anche di "condizioni particolari di un'equazione differenziale" senza parlare di equazione differenziale, escludendo tutte quelle funzioni che differiscono da quella proposta per una costante additiva ma anche per una costante moltiplicativa. resta l'obiezione principale: perché la soluzione è unica?
anzi, io volevo proporre due integrali, uno da $0$ a $t_1$ e uno da $0$ a $t_2$, e in questi sarebbe comparso un termine $1$ che sì, si sarebbe semplificato con la differenza, ma avrebbe comunque avuto bisogno di un chiarimento almeno in termini di significato fisico.
l'unica cosa che può rispondere, solo in parte, all'obiezione potrebbe essere la definizione di integrale indefinito, che permetterebbe di dare un'idea anche di "condizioni particolari di un'equazione differenziale" senza parlare di equazione differenziale, escludendo tutte quelle funzioni che differiscono da quella proposta per una costante additiva ma anche per una costante moltiplicativa. resta l'obiezione principale: perché la soluzione è unica?
Partiamo col determinare quanto tempo impiega l'automobile per andare da $1$ ad $a$, supponendo che parta nell'istante $t=0$. Siamo interessati al valore di $t_a$: l'istante in cui la macchina arriva in $a$.
Come sarà il diagramma spazio - tempo del moto?
Il fatto che la velocità istantanea $v$ coincida sempre con $s$ corrisponde al fatto che la pendenza del grafico in ogni punto ($v$) coincide con la sua ordinata ($s$). Una funzione che ha questa caratteristica è $s(t) = e^x$ (al massimo traslata in orizzontale).
Il fatto che $s(1) = 0$ esclude le eventuali traslazioni.
$s(t_a) = e^{t_a} = a$ allora $t_a = ln a$
Allo stesso modo, $t_b = ln b$.
Quindi nel percorso da $a$ a $b$ il tempo impiegato è $t_b-t_a = ln b - ln a$. Posso fare questo perché la velocità dipende solo dalla posizione in cui si trova la macchinina, non da quanto è iniziato il moto.
Quindi la velocità media nel tratto considerato è $\frac{b-a}{ln b - ln a}$
Effettivamente quella dell'unicità è una questione che avevo un po' sottovalutato...
O ci si portava da casa il fatto che l'unica funzione (a meno di traslazioni orizzontali) uguale alla sua derivata è $e^x$ e finiva così, oppure si potrebbe motivare intuitivamente così:
Dividiamo la retta in tante porzioni piccolissime in cui la velocità è costante in ognuna di esse. Se l'automobilina si trova all'inizio di un trattino, è possibile determinare univocamente quanto tempo ci metterà ad attraversarlo, perché conosciamo sia la lunghezza del trattino così come la velocità. Arrivata alla fine di un trattino, l'automobilina ne attraverserà un altro, e ancora sappiamo quanto tempo verrà impiegato a percorrerlo tutto, e così via per ogni trattino.
Siccome il tempo di percorrenza di ogni trattino è univocamente determinato, allora è univocamente determinato il tempo totale che corrisponde alla somma dei piccoli tempi, da cui deriva l'unicità della soluzione.
Come sarà il diagramma spazio - tempo del moto?
Il fatto che la velocità istantanea $v$ coincida sempre con $s$ corrisponde al fatto che la pendenza del grafico in ogni punto ($v$) coincide con la sua ordinata ($s$). Una funzione che ha questa caratteristica è $s(t) = e^x$ (al massimo traslata in orizzontale).
Il fatto che $s(1) = 0$ esclude le eventuali traslazioni.
$s(t_a) = e^{t_a} = a$ allora $t_a = ln a$
Allo stesso modo, $t_b = ln b$.
Quindi nel percorso da $a$ a $b$ il tempo impiegato è $t_b-t_a = ln b - ln a$. Posso fare questo perché la velocità dipende solo dalla posizione in cui si trova la macchinina, non da quanto è iniziato il moto.
Quindi la velocità media nel tratto considerato è $\frac{b-a}{ln b - ln a}$
Effettivamente quella dell'unicità è una questione che avevo un po' sottovalutato...
O ci si portava da casa il fatto che l'unica funzione (a meno di traslazioni orizzontali) uguale alla sua derivata è $e^x$ e finiva così, oppure si potrebbe motivare intuitivamente così:
Dividiamo la retta in tante porzioni piccolissime in cui la velocità è costante in ognuna di esse. Se l'automobilina si trova all'inizio di un trattino, è possibile determinare univocamente quanto tempo ci metterà ad attraversarlo, perché conosciamo sia la lunghezza del trattino così come la velocità. Arrivata alla fine di un trattino, l'automobilina ne attraverserà un altro, e ancora sappiamo quanto tempo verrà impiegato a percorrerlo tutto, e così via per ogni trattino.
Siccome il tempo di percorrenza di ogni trattino è univocamente determinato, allora è univocamente determinato il tempo totale che corrisponde alla somma dei piccoli tempi, da cui deriva l'unicità della soluzione.
"giammaria":
mi sembra improbabile che un simile risultato possa essere ottenuto con le sole conoscenze delle superiori.
Alla peggio prendendo intervalli infinitesimi $h$ sullo spazio, il tempo per passare da $x$ a $x+h$ tende a $h/x$. Quindi per calcolare il tempo si può sempre integrare $1/x$. Ottenendo $\int_{a}^{b} \frac{1}{x}\ dx = \ln(b)-\ln(a)$
Potrei dire scemenze xD Ma una cosa del genere dovrebbe essere fattibile anche da metà del quinto liceo no? Poi mi pare che pure in fisica si faceva una cosa simile per calcolare qualcosa riguardo le espansioni isoterme.. mi pare...
Bella soluzione, xXStephXx! Per le isoterme non ricordo bene, ma direi di no perché le si studia prima di imparare derivate ed integrali.
ingegnoso!
confermo che si fa per le isoterme. Si può anticipare qualcosa sugli integrali, ma comunque, anche senza tutti i passaggi, la formula è citata comunque.
confermo che si fa per le isoterme. Si può anticipare qualcosa sugli integrali, ma comunque, anche senza tutti i passaggi, la formula è citata comunque.
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