Sottoprodotto del "Teorema del cono-gelato"
Un quiz di geometria facile facile ...
[Chi ha fretta "salti" l'introduzione e vada subito a leggere il testo del quiz nell'immagine che segue.]
Introduzione
Nel Teorema di Menecmo – modernamente più noto come "Teorema del cono-gelato"– si considerano due sfere una piccola e una più grande dentro un cono cavo [che supponiamo, per comodità di rappresentazione, ad asse verticale col vertice in basso]. Le due sfere non si toccano e poggiano entrambe sulla superficie interna del cono lambendola in rispettive circonferenze perpendicolari all'asse del cono. Un piano α che tocca con una faccia una delle due sfere in un punto $F_1$ e con l'altra faccia l'altra sfera in un altro punto $F_2$ taglia la superficie del cono in una curva chiusa. Si dimostra facilmente che questa è una ellisse che ha i fuochi nei due punti $F_1$ ed $F_2$ del piano α nei quali le due sfere lo toccano.
Segando cono, sfere e piano α con un altro piano β per l'asse del cono e perpendicolare ad α, nel piano β vengono a trovarsi due cerchi [rispettivi cerchi massimi delle due sfere], due semirette tangenti ad entrambi ciascuna della quali lascia i due cerchi dallo stesso lato [due "opposte" generatrici del cono] e un segmento tangente ad entrambi i cerchi con gli estremi uno su una tangente e l'altro sull'altra tangente [asse principale della detta ellisse] che li tocca lasciandoli uno da un lato e l'altro dall'altro lato.
Noto questo teorema [di geometria tridimensionale], la tesi del quiz che segue è ovvia [come banale corollario del detto teorema].
Ma il mio quiz chiede di dimostrare l'uguaglianza di due segmenti restando nell'ambito della geometria piana.
Il quiz è molto faclie (ma anche – secondo me – molto simpatico).
Buona lettura!
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[Chi ha fretta "salti" l'introduzione e vada subito a leggere il testo del quiz nell'immagine che segue.]
Introduzione
Nel Teorema di Menecmo – modernamente più noto come "Teorema del cono-gelato"– si considerano due sfere una piccola e una più grande dentro un cono cavo [che supponiamo, per comodità di rappresentazione, ad asse verticale col vertice in basso]. Le due sfere non si toccano e poggiano entrambe sulla superficie interna del cono lambendola in rispettive circonferenze perpendicolari all'asse del cono. Un piano α che tocca con una faccia una delle due sfere in un punto $F_1$ e con l'altra faccia l'altra sfera in un altro punto $F_2$ taglia la superficie del cono in una curva chiusa. Si dimostra facilmente che questa è una ellisse che ha i fuochi nei due punti $F_1$ ed $F_2$ del piano α nei quali le due sfere lo toccano.
Segando cono, sfere e piano α con un altro piano β per l'asse del cono e perpendicolare ad α, nel piano β vengono a trovarsi due cerchi [rispettivi cerchi massimi delle due sfere], due semirette tangenti ad entrambi ciascuna della quali lascia i due cerchi dallo stesso lato [due "opposte" generatrici del cono] e un segmento tangente ad entrambi i cerchi con gli estremi uno su una tangente e l'altro sull'altra tangente [asse principale della detta ellisse] che li tocca lasciandoli uno da un lato e l'altro dall'altro lato.
Noto questo teorema [di geometria tridimensionale], la tesi del quiz che segue è ovvia [come banale corollario del detto teorema].
Ma il mio quiz chiede di dimostrare l'uguaglianza di due segmenti restando nell'ambito della geometria piana.
Il quiz è molto faclie (ma anche – secondo me – molto simpatico).
Buona lettura!
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Risposte
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Cordialmente, Alex
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Non mi pare che la dimostrazione di Alex sia accettabile.
Ciao
Ciao
"orsoulx":A me pare di sì!
Non mi pare che la dimostrazione di Alex sia accettabile.
A me pare poco chiara nel senso che si fatica a seguirla. Ma alla fine l'ho trovata equivalente a quella che ho in mente io.
Provo a spiattellare la mia dimostrazione (cercando di essere molto chiaro).
Dopo di che ... ecco che la dimostrazione di Alex mi pare equivalente, anche se meno esplicita della mia.
Con riferimento alla ––> figura, do per vere (di immediata accettazione) le seguenti uguaglianze:
a) AH = HP = SM = MC;
b) DK = NT = QK = KD;
c) AB = CD;
d) NM = HK;
e) HB = HQ;
f) NS = NA.
Ovvie sono anche le seguenti implicazioni:
g) AB = AH +HB ∧ HK = HQ +QK ∧ HB = HQ ⇒ AB – AH = HK – QK;
h) NM = NS +SM ∧ AB = AN +NB ∧ SN = AN ⇒ NM – SM = AB – NB.
Chiamo $a$ la lunghezza dei segmenti elencati in a) e chiamo $b$ la lunghezza dei segmenti elencati in b).
Chiamo $x$ la lunghezza dei segmenti elencati in c) e chiamo $y$ la lunghezza dei segmenti elencati in d).
Devo dimostrare che è $x = y$.
Usando (per comodità) i nomi appena assegnati:
l'ultima uguaglianza di g) diventa: $x- a = y - b$; (*)
l'ultima uguaglianza di h) diventa: $y- a = x - b$. (**)
Sommando membro a membro le (*) e (**) si ottiene $x+y - 2a = y+x - 2b$ ⇔ $a=b$.
Con ciò (ossia per $a = b$), tanto dalla (*) quanto dalla (**) risulta $x = y$.
[C. D. D.
]______
P.S. (editando per modificare).
Per maggiore chiarezza ho aggiunto le due righe di testo g) e h) contenenti uguaglianze che conseguono dalle uguaglianze precedenti. Ho quindi modificato il testo della terzultima e quartultima riga.
Chiedo scusa per il ritardo con cui ho modificato.
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"Erasmus_First":
A me pare di sì!
Come spesso succede abbiamo opinioni discordanti. La tua dimostrazione è ineccepibile, ma da questo ad affermare che lo sia anche quella di Alex c'è un bel salto. Le sue affermazioni sono tutte vere (e ci mancherebbe), però continuo a non cogliere l'ovvia implicazione sottesa a quel "quindi".
Ciao
"orsoulx":Ad essere "pignoli", mi pare che la prima uguaglianza scritta da Alex (cioè $\bar(AH)=\bar(HP)$) vada sostituita con la coppia di uguaglianze $\bar(AH)=\bar(HP) = \bar(SM)$ (in analogia alla coppia di uguaglianze scritte da Alex immediatamente dopo, cioè $\bar(NB)=\bar(NT)=\bar(QK)$). Inoltre manca (nel senso che non è esplicita!) la congiunzione logica di due affermazioni [cioè un "AND"
][...] Le sue affermazioni [di Alex] sono tutte vere (e ci mancherebbe), però continuo a non cogliere l'ovvia implicazione sottesa a quel "quindi".
] che implica che i tre segmenti uguali della seconda affermazione sono pure uguali ai primi due [che io ho fatto diventare tre] della prima affermazione. Forse è proprio questa "assenza" – per te "lacuna logica", per me di qualcosa che mi pare però implicito – che ti fa ritenere "non accettabile" la dimostrazione di Alex. Ecco: io ho ritenuta "pensata da Alex" ma non detta esplicitamente (forse perché valutata evidente) quella congiunzione logica (che nel testo del mio spiattellamento è il "fare sistema" di due equazioni.
Tu ... certamente "più sottile" di Erasmus
, consideri che quella "lacuna" invalidi la deduzione–chiave di Alex ($\bar(HN)=\bar(PQ)$).______
Avevo in mente di scrivere una soluzione "algebrica" come quella di Erasmus ma dopo la prima riga mi ero già stufato (tant'è che c'è un errore di battitura) e visto che dovevo scriverne ancora tante, ho preferito tagliar corto ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@ orsoulx.
Notevole il tuo modo di dimostrare che AH= NB (da cui, essendo AH = HP e NB = QK, viene AH= QK e quindi, essendo HB = HQ, la tesi AB = HK).
[A me la circonferenza per i punti H, K, M e N (con la notevolissima proprietà che un suo diametro è il segmento OO' con estremi i centri dei due cerchi di figura) non sarebbe mai venuto in mente! Ma come ti vengono in mente questi "voli pindarici"?
]
Occhio, Beppe! Ti è sfuggito un HK al posto di un HN ... che ti consiglio di andar a correggere.
[NB: Ti cito per facilitarti la locaslizzazione]. Qui:
______
Notevole il tuo modo di dimostrare che AH= NB (da cui, essendo AH = HP e NB = QK, viene AH= QK e quindi, essendo HB = HQ, la tesi AB = HK).
[A me la circonferenza per i punti H, K, M e N (con la notevolissima proprietà che un suo diametro è il segmento OO' con estremi i centri dei due cerchi di figura) non sarebbe mai venuto in mente! Ma come ti vengono in mente questi "voli pindarici"?
] Occhio, Beppe! Ti è sfuggito un HK al posto di un HN ... che ti consiglio di andar a correggere.
[NB: Ti cito per facilitarti la locaslizzazione]. Qui:
"orsoulx":
La proiezione del centro di questa circonferenza su una delle due tangenti esterne (ad esempio $AB$) è, contemporaneamente, punto medio di AB (T. di Talete) e di HK (corda di $\gamma$); [...]
______
"Erasmus_First":
...HK al posto di un HN...
Grazie! Ho corretto. Quanto alla domanda, a parte gli apprezzamenti che sono opinioni squisitamente personali, non ho una risposta da darti. Decenni di problemi sulle tangenti comuni a due circonferenze, con idee e osservazioni di centinaia di studenti, in cui ho sempre cercato di stimolare la creatività, hanno sicuramente contribuito a sedimentare una moltitudine di connessioni difficili da analizzare coscientemente.
Ciao
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