Sottoinsiemi con limitazioni

[Edex1]

Salve a tutti, non so se questa è la sezione giusta per la mia domanda e quindi chiedo anticipatamente scusa nel caso in cui abbia sbagliato.
Il mio quesito riguarda una variazione al normale calcolo dei sottoinsiemi.
Mi spiego meglio: dato un insieme di n elementi se voglio calcolare quanti sottoinsiemi di k elementi si possono fare utilizzo i binomiali
$((n);(k))$

Nel caso in cui si aggiungano delle limitazioni si può modificare questa formula o si deve ogni volta valutare il caso specifico?
Per esempio:
Dato $A = {1,2,3,...,10}$ quanto sottoinsiemi di $2$ elementi si possono ottenere tali per cui i due elementi siano consecutivi?
Si può modificare la formula precedente in qualche modo o va calcolato a mano in numeri dei sottoinsiemi?
Principalmente mi interessano le limitazioni legate a numeri consecutivi o meno.

Spero di essermi spiegato, grazie per le risposte!

[xXStephXx]

Più che modificare la formula precedente andrebbe trovata una nuova formula per ogni tipo diverso di limitazione.
Cioè bastano anche piccole limitazioni per far sì che la formula sia molto diversa da quella che hai scritto sopra.
Nell'esempio specifico che hai fatto, se ci pensi, la formula è pure più semplice
Però se ti sbizzarrisci un po' a porre limitazioni ti puoi imbattere facilmente in problemi dove non esistono formule di quel tipo e sei costretto a ricorrere a strumenti meno comodi

[wall98]

questo problema (come tutti quelli di combinatoria, e non solo) ha vari modi di essere risolto,ne propongo 2 che parlano da soli:

1- applicazione a tutti i costi del binomiale:
in quanti modi posso prendere una qualsiasi coppia senza limitazioni? \(\displaystyle \binom{10}{2} \)
ora di queste quante vanno bene? se la coppia contiene 1, ad andarne male sono 8,cioè i restanti numeri tranne 1 e 2...
se invece la coppia contiene 2? ad andarne male sono 7 (perche la coppia con 1 è gia stata contata)
si vede che il numero di quelle che vanno male continua a diminuire di 1, quindi la formula è \(\displaystyle \binom{10}{2}- \frac{8(8+1)}{2}=9 \) (ricordo che n(n+1)/2 è la formula della somma dei primi n naturali positivi)

2- modo furbo:
se le coppie devono essere consecutive significa che andranno bene \(\displaystyle (1,2)(2,3)(3,4)...(n-1,n) \)
quindi le coppie sono tante quanti i numeri da 1 a n-1, che sono appunto n-1, nel nostro caso abbiamo n=10, quindi il risultato è 9

come ben si nota a volte cercare delle formule gia pronte complica enormemente il problema, la cosa da fare sarebbe mettersi 2 minuti a ragionare e vedere se si riesce a trovare qualche idea, se no, via di forza bruta con i binomiali e compagnia bella.