Somme di quadrati II

[axpgn]

Trovare il più piccolo numero naturale esprimibile come somma di due quadrati perfetti in esattamente sette modi diversi.


Cordialmente, Alex

[qualcuno4]

Questo problema te lo ha suggerito Ramanujan ?

[axpgn]

A dir la verità, è quasi banale ...

[Folpo13]

Non l'ho risolto ma...

$203125$

Sauce:

http://oeis.org/A000446

"axpgn":A dir la verità, è quasi banale ...

Come?

[hydro1]

@Folpo13: calcolare, per ogni $n,k$ fissati, la cardinalità di \(\{(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb Z^k\colon \sum a_i^2=n\}\) è un problema super classico una cui meravigliosa risposta è legata strettamente al mondo delle forme modulari. Per $k=2$ si possono dare risposte più elementari, eccone una ad esempio.

Chiedersi in quanti modi $n$ si può scrivere come $a^2+b^2$ significa essenzialmente chiedersi quanti elementi di norma $n$ ci sono in $\mathbb Z$.

Se $n=2^ep_1^{f_1}\ldots p_r^{f_r}q_1^{g_1}\ldots q_s^{g_s}$ è la fattorizzazione di $n$ con i $p_i\equiv 1\mod 4$ e $q_i\equiv 3\mod 4$, il numero di elementi di norma $n$ in $\mathbb Z$ è $4\prod (f_i+1)$, semplicemente perchè il suddetto anello è un UFD con 4 unità, due elementi di norma $p_i$ per ogni $i$, un elemento di norma $2$, nessun elemento di norma $q_i$ ed esattamente un elemento di norma $q_i^2$. Abbiamo mostrato così che $\{(a_1,a_2)\in \mathbb Z^2: a_1^2+a_2^2=n\}=4\prod (f_i+1)$. Ora devi solo chiederti quante di queste rappresentazioni vanno identificate tra loro a seconda del significato della domanda di axpgn (ad esempio, $3^2+4^2$ e $4^2+3^2$ possono essere contate come rappresentazioni distinte o uguali) e minimizzare $n$. Non dovrebbe essere difficile, solo noioso.

[Folpo13]

"hydro":
(Cose)

Purtroppo molto di quello che hai usato non fa ancora parte del mio bagaglio di conoscenze

Quando @axpgn lo ha definito banale avevo inizialmente pensato a qualcosa di risolvibile senza algebra astratta e aritmetica modulare

[axpgn]

@Folpo13
No, non è quello.

Comunque, usare OEIS non vale. O meglio, non ha senso. Che c'entra cercare sul web con il risolvere quesiti?

"Folpo13":Quando @axpgn lo ha definito banale avevo inizialmente pensato a qualcosa di risolvibile senza algebra astratta e aritmetica modulare

Ed infatti non è necessario conoscere tutta quella teoria.
Aprire una porta, se hai la chiave, è banale; qui è lo stesso, ti basta conoscere una formula.
A quella formula ci si può arrivare, se non la si conosce già, partendo dalla terne pitagoriche, da domande come "Dato un intero, di quanti triangoli rettangoli può essere cateto?" oppure "Dato un intero, di quanti triangoli rettangoli può essere ipotenusa?" e via dicendo (peraltro alcuni quesiti come questi li avevo postati tempo fa)

Cordialmente, Alex

[hydro1]

Tutto si può tradurre in termini elementari; d'altro canto qualsiasi teorema in matematica si può riformulare solo in termini di insiemi e funzioni tra insiemi...

@axpgn: Devi specificare cosa si intende con "modi distinti": per te $1^2+2^2$ e $2^2+1^2$ sono modi distinti oppure no? e poi $0$ è un numero naturale per te?

[axpgn]

No, non sono "distinti", peraltro io ho usato la parola "diversi" che ha un significato "differente" (leggermente )
Non dovresti però dimenticare la sezione in cui ti trovi.
E ciò che è "elementare" per te, non è detto che lo sia anche per me.


Cordialmente, Alex

P.S.: lo zero non è naturale.
In merito ci fu una discussione (più di una in realtà ma mi riferisco a quella che creò gio73 unendo vari thread e quindi un po' confusionaria)

[hydro1]

A causa di questa ridicola indecisione per cui per alcune persone $0$ è un numero naturale e per altre no, non si dovrebbe mai usare l'espressione "naturale" ma (come si fa nel mondo della matematica vera) "intero non-negativo" o "intero positivo", che sono espressioni non ambigue (sia chiaro che non è una critica verso di te, solo un consiglio!). Ad ogni modo se si considera $0$ naturale la risposta riportata da Folpo13 è corretta.

[axpgn]

Ma non è la risposta di Folpo13, è quella di OEIS!

Premesso che non è certo l'unica definizione non univoca in Matematica (nel senso che ce ne sono molte di definizioni alternative per molti concetti matematici, tant'è che talvolta è buona cosa specificare qual è quella che si sta usando), io ho usato "naturale" solo per il numero da trovare, quindi da quel lato non vedo ambiguità; casomai sarebbe discutibile, ancorché formalmente corretto, considerare questa cosa qui $y=x^2=x^2+0$ come "intero scomposto come somma di due quadrati perfetti"

Peraltro vorrei aggiungere questo: gran parte dei quesiti che propongo sono "vecchi" (almeno mezzo secolo) e a quei tempi si badava un po' meno a queste "precisazioni", anche da parte di matematici veri e famosi (mi riferisco a problemi e quesiti "ludici", non a teoremi, esercizi, manuali, trattati, ecc, non so se mi spiego; per dire, spesso in tali "puzzles" si usa la parola "numero" come sinonimo di "naturale" o "intero" e molte volte modifico il testo originale per precisare)

Cordialmente, Alex

[hydro1]

"axpgn":Ma non è la risposta di Folpo13, è quella di OEIS!

Sicuro, ma resta comunque giusta.

"axpgn":
Premesso che non è certo l'unica definizione non univoca in Matematica (nel senso che ce ne sono molte di definizioni alternative per molti concetti matematici, tant'è che talvolta è buona cosa specificare qual è quella che si sta usando),

Verissimo, ed è una cosa ridicola nel 2021.

"axpgn":
io ho usato "naturale" solo per il numero da trovare, quindi da quel lato non vedo ambiguità; casomai sarebbe discutibile, ancorché formalmente corretto, considerare questa cosa qui $y=x^2=x^2+0$ come "intero scomposto come somma di due quadrati perfetti"

Eh ma è importante specificarlo, perchè la riposta cambia. La tua domanda è intrisecamente ambigua, perchè il concetto di "quadrato perfetto" non esiste a meno che non si specifichi in quale struttura algebrica si sta lavorando. In $\mathbb Q$ anche $1/4$ è un "quadrato perfetto", in $\overline{\mathbb Q}$ anche $-1$ lo è.

"axpgn":
Peraltro vorrei aggiungere questo: gran parte dei quesiti che propongo sono "vecchi" (almeno mezzo secolo) e a quei tempi si badava un po' meno a queste "precisazioni", anche da parte di matematici veri e famosi (mi riferisco a problemi e quesiti "ludici", non a teoremi, esercizi, manuali, trattati, ecc, non so se mi spiego; per dire, spesso in tali "puzzles" si usa la parola "numero" come sinonimo di "naturale" o "intero" e molte volte modifico il testo originale per precisare)

Certo questo lo capisco, però è anche giusto abituare le persone fin da subito ad eliminare le ambiguità. Secoli fa la matematica era molto meno standardizzata di adesso, tanti oggetti e concetti venivano usati senza che neanche si avesse una teoria precisa dietro. Certo che a Gauss ed Eulero non serviva poi tanto farlo perchè erano dei geni, ma noi comuni mortali veniamo aiutati non poco dalla precisione. Per me è cosa buona e giusta che i testi dei problemi non contengano neppure la più piccola ambiguità perchè la difficoltà del rispondere ad un quesito non deve stare nel capire la domanda.

[axpgn]

La soluzione, assumendo tutti positivi, è $105625$.

Il numero di modi diversi $m$ in cui un numero $N$ può essere suddiviso come somma di due quadrati perfetti è $m=[(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)-1]/2$ quando gli $a_i$ sono tutti pari mentre è $m=[(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)]/2$ quando almeno un $a_i$ è dispari (gli $a_i$ sono gli esponenti dei fattori primi di $N$ della forma $4n+1$).

Il nostro $m$ è $7$ quindi da quelle due equazioni so ottengono due opzioni: $a_1=4, a_2=2$ oppure $a_1=6, a_2=1$.

Siccome stiamo cercando il minimo, usiamo come fattori primi $5$ e $13$ che danno $105625=5^4*13^2$ in un caso e $203125=5^6*13$ nell'altro.

Chi vuole può trovare le sette somme di entrambi i casi

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Non ho capito alcuni passi della dimostrazione...

"axpgn":La soluzione, assumendo tutti positivi, è $105625$.

Il numero di modi diversi $m$ in cui un numero $N$ può essere suddiviso come somma di due quadrati perfetti è $m=[(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)-1]/2$ quando gli $a_i$ sono tutti pari mentre è $m=[(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)]/2$ quando almeno un $a_i$ è dispari (gli $a_i$ sono gli esponenti dei fattori primi di $N$ della forma $4n+1$).

Da dove hai ricavato questa formula?

[axpgn]

L'avevo scritto qua ...

"axpgn":A quella formula ci si può arrivare, se non la si conosce già, partendo dalla terne pitagoriche, da domande come "Dato un intero, di quanti triangoli rettangoli può essere cateto?" oppure "Dato un intero, di quanti triangoli rettangoli può essere ipotenusa?" e via dicendo (peraltro alcuni quesiti come questi li avevo postati tempo fa)

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

"axpgn":...Partendo dalla terne pitagoriche, da domande come "Dato un intero, di quanti triangoli rettangoli può essere cateto?" oppure "Dato un intero, di quanti triangoli rettangoli può essere ipotenusa?"

Non saprei proprio da dove iniziare

Ho fatto alcuni tentativi...

Ad esempio se un $n$ è la somma di due quadrati in $m$ modi diversi posso scrivere
$a_1^2+a_2^2=n$
...
$a_(2m-1)^2+a_(2m)^2=n$
Da cui
$mn=\sum_(k=1)^(2m)a_k^2$
Ma da qui nulla.

Poi ho provato ad usare la proprietà che se $n=a^2+b^2=c^2+d^2$ allora $n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(ab)^2+(bc)^2+(bd)^2=(ac+bd)^2-2abcd+(ad-bc)^2+2abcd=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

Ma anche qui nessuna "scintilla".

Poi ho cercato l'ispirazione nella tua dimostrazione e provato ad ottenere la tua formula. Sono partito dalla formula per le terne pitagoriche:
$x=2ab$
$y=a^2-b^2$
$z=a^2+b^2$

provando a scomporre in fattori:
$x=2a_1^(\alpha_1)a_2^(\alpha_2)...b_1^(\beta_1)b_2^(\beta_2)...$
$y=a_1^(2\alpha_1)a_2^(2\alpha_2)...-b_1^(2\beta_1)b_2^(2\beta_2)...$
$z=a_1^(2\alpha_1)a_2^(2\alpha_2)...+b_1^(2\beta_1)b_2^(2\beta_2)...$

Quindi per Pitagora:
$4a_1^(2\alpha_1)a_2^(2\alpha_2)...b_1^(2\beta_1)b_2^(2\beta_2)...+a_1^(4\alpha_1)a_2^(4\alpha_2)...+b_1^(4\beta_1)b_2^(4\beta_2)...-2a_1^(2\alpha_1)a_2^(2\alpha_2)...b_1^(2\beta_1)b_2^(2\beta_2)...=a_1^(4\alpha_1)a_2^(4\alpha_2)...+b_1^(4\beta_1)b_2^(4\beta_2)...+2a_1^(2\alpha_1)a_2^(2\alpha_2)...b_1^(2\beta_1)b_2^(2\beta_2)...$

Ma qui semplicemente ottenevo un ovvio $0=0$ senza troppe risposte

Quindi se possibile ti chiedo uno spunto. Voglio provare ad arrivarci da solo ma sento di essere ancora molto lontano da una risoluzione del problema...

[axpgn]

Ho scritto che "ci si può arrivare" a quella formula, non che è semplice arrivarci (e tantomeno arrivarci brevemente)
L'ho trovata all'interno di due capitoli, uno sulle terne pitagoriche e l'altro sui quadrati, per un totale di una settantina di pagine; capisci che non è possibile riassumerle qui

Peraltro, come già accennavo, uno spunto puoi trovarlo da problemi (simili) che erano stati postati in precedenza, per esempio questo di Erasmus First oppure quest'altro mio.


Cordialmente, Alex