Sommatoria
$sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(n+1) \rfloor$
Risposte
Troppo facile! Propongo la seguente modifica, anch'essa tutt'altro che difficile:
$sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor$
$sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor$
Tento una soluzione:
$ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 10000/2^(n+1)+1/2 \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor $.
Ora, noto che per $ n \geq 9, n \in \mathbb{N} $, $ 2^n>500 $. Tuttavia, per $ n=9 $, $ 500/2^n>1/2 $, dunque avro` valore $ 1 $ per $ n=9 $. Per tutti gli altri $ n>9 $, ottengo $ \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor =0 $, allora non devono essere presi in considerazione.
La somma diventa:
$ sum_(n=0)^9 \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor $, il che puo` essere trovato facilmente, e viene $ 1000 $. E` giusto?
$ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 10000/2^(n+1)+1/2 \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor $.
Ora, noto che per $ n \geq 9, n \in \mathbb{N} $, $ 2^n>500 $. Tuttavia, per $ n=9 $, $ 500/2^n>1/2 $, dunque avro` valore $ 1 $ per $ n=9 $. Per tutti gli altri $ n>9 $, ottengo $ \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor =0 $, allora non devono essere presi in considerazione.
La somma diventa:
$ sum_(n=0)^9 \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor $, il che puo` essere trovato facilmente, e viene $ 1000 $. E` giusto?
Tutto bene fino a
$sum_(n=0)^infty \lfloor 5000/2^n+1/2 \rfloor $.
Poi però il ragionamento è: ho la somma di infiniti addendi, tutti maggiori di $1/2$, quindi il risultato è infinito.
Proprio questo mi aveva fatto dire che il problema era troppo facile.
$sum_(n=0)^infty \lfloor 5000/2^n+1/2 \rfloor $.
Poi però il ragionamento è: ho la somma di infiniti addendi, tutti maggiori di $1/2$, quindi il risultato è infinito.
Proprio questo mi aveva fatto dire che il problema era troppo facile.
Mi intrometto un po'
Con \(\lfloor \_ \rfloor\) si intende(spesso) la parte intera dell'argomento; dopo un certo valore di \(n\), come ha detto Pachisi, si ha la parte intera di un numero strettamente compreso tra zero ed uno, quindi zero; la somma di infiniti zeri è zero.
Ni, hai fatto \(\displaystyle \frac{10000}{2} = 500\).
ho la somma di infiniti addendi, tutti maggiori di $1/2$, quindi il risultato è infinito..
Con \(\lfloor \_ \rfloor\) si intende(spesso) la parte intera dell'argomento; dopo un certo valore di \(n\), come ha detto Pachisi, si ha la parte intera di un numero strettamente compreso tra zero ed uno, quindi zero; la somma di infiniti zeri è zero.
$ sum_(n=0)^9 \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor $, il che puo` essere trovato facilmente, e viene $ 1000 $. E` giusto?
Ni, hai fatto \(\displaystyle \frac{10000}{2} = 500\).
"hyoukarou":
Ni, hai fatto \( \displaystyle \frac{10000}{2} = 500 \).
Forse non capisco cosa mi stai dicendo ma $ sum_(n=0)^9 \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor = \lfloor 500/1+1/2 \rfloor+\lfloor 500/2+1/2 \rfloor...+\lfloor 500/512+1/2 \rfloor=1000 $, oppure sbaglio? Perche, se sbaglio, non capisco dove.
"Pachisi":
$ sum_(n=0)^9 \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor = \lfloor 500/1+1/2 \rfloor+\lfloor 500/2+1/2 \rfloor...+\lfloor 500/512+1/2 \rfloor=1000 $
Questo è vero, ma
"Pachisi":
$sum_(n=0)^infty \lfloor 10000/2^(n+1)+1/2 \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 500/2^n+1/2 \rfloor $
qua hai semplificato male, come ha detto giammaria dovrebbe essere $ sum_(n=0)^infty \lfloor 5000/2^n+1/2 \rfloor $
... Mi sembrava $ 1000 $ e non $ 10000 $. 
Dunque, bisognerebbe sommarli da $ n=0 $ a $ n=13 $, e verrebbe $10000$. Giusto?
Dunque, bisognerebbe sommarli da $ n=0 $ a $ n=13 $, e verrebbe $10000$. Giusto?
Dunque, la mia soluzione è questa ...
$sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(n+1) \rfloor=sum_(n=0)^infty \lfloor (10000)/2^(n+1)+2^n/2^(n+1) \rfloor=sum_(n=0)^infty \lfloor (10000)/2^(n+1)+1/2 \rfloor$.
Sfruttando questa identità $\lfloor x+1/2 \rfloor = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor$ e ponendo $x=(10000)/2^(n+1)$ ottengo $sum_(n=0)^infty (\lfloor 2*(10000)/2^(n+1) \rfloor - \lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor) = sum_(n=0)^infty (\lfloor (10000)/2^n \rfloor - \lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor) = -sum_(n=0)^infty (\lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor - \lfloor (10000)/2^n \rfloor )$ ma questa è una somma telescopica e perciò sarà $-sum_(n=0)^infty (\lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor - \lfloor (10000)/2^n \rfloor )=-(0 - \lfloor (10000)/2^0 \rfloor)= 10000$
@giammaria
La tua proposta $sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor$ è facile da calcolare ($6664$) ma non riesco a trovarne una soluzione analitica ...
Cordialmente, Alex
$sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(n+1) \rfloor=sum_(n=0)^infty \lfloor (10000)/2^(n+1)+2^n/2^(n+1) \rfloor=sum_(n=0)^infty \lfloor (10000)/2^(n+1)+1/2 \rfloor$.
Sfruttando questa identità $\lfloor x+1/2 \rfloor = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor$ e ponendo $x=(10000)/2^(n+1)$ ottengo $sum_(n=0)^infty (\lfloor 2*(10000)/2^(n+1) \rfloor - \lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor) = sum_(n=0)^infty (\lfloor (10000)/2^n \rfloor - \lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor) = -sum_(n=0)^infty (\lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor - \lfloor (10000)/2^n \rfloor )$ ma questa è una somma telescopica e perciò sarà $-sum_(n=0)^infty (\lfloor (10000)/2^(n+1) \rfloor - \lfloor (10000)/2^n \rfloor )=-(0 - \lfloor (10000)/2^0 \rfloor)= 10000$
@giammaria
La tua proposta $sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor$ è facile da calcolare ($6664$) ma non riesco a trovarne una soluzione analitica ...
Cordialmente, Alex
@giammaria
La tua proposta $sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor$ è facile da calcolare ($6664$) ma non riesco a trovarne una soluzione analitica ...
Io ho pensato alle progressioni geometriche: se $|a|<1$ si ha $sum_(n=0)^ooa^n=1/(1-a)$. La sommatoria che avevo proposto può quindi essere calcolata con
$=sum_(n=0)^oo[5000*(1/4)^n+1/2*(1/2)^n]=5000*1/(1-1/4)+1/2*1/(1-1/2)=5000*4/3+1/2*2=20003/3$
Ma quella non è una parentesi quadra ma la funzione parte intera ...
Ed è stato chiarito negli interventi successivi (sarebbe stato meglio farlo fin dall'inizio); la mia ultima risposta si riferiva all'interpretazione che ne avevo dato allora e che mi aveva suggerito la modifica.
Curioso il fatto che due interpretazioni completamente diverse conducano a risultati molto prossimi fra loro.
Curioso il fatto che due interpretazioni completamente diverse conducano a risultati molto prossimi fra loro.
Non ho capito granché ... 
Quindi la tua proposta è da intendersi fin dall'inizio con le parentesi quadre e non come funzione parte intera (come scritto nel primo messaggio e come io avevo inteso) ?
Ah, beh, allora è tutta un'altra cosa dalla mia (dal punto di vista della risoluzione) ...
Quindi una soluzione analitica non c'è ? Sarei curioso ...
Quindi la tua proposta è da intendersi fin dall'inizio con le parentesi quadre e non come funzione parte intera (come scritto nel primo messaggio e come io avevo inteso) ?
Ah, beh, allora è tutta un'altra cosa dalla mia (dal punto di vista della risoluzione) ...
Quindi una soluzione analitica non c'è ? Sarei curioso ...
Sì, la mia proposta è da intendersi fin dall'inizio nel modo che dici; è senz'altro possibile che non ci sia una soluzione analitica. Se però ci fosse e qualcuno la postasse appagherebbe anche la mia curiosità.
Propongo una soluzione per la seconda: $ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor $
Semplifichiamo nel seguente modo: $ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 10000/2^(2n+1)+2^n/2^(2n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 5000/2^(2n)+1/2^(n+1) \rfloor
= sum_(n=0)^infty \lfloor 1/2^n(5000/2^n)+1/2^n(1/2) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor $
Ora, notiamo che dopo un certo valore di $ n $, l'espressione sara` sempre tra $ 0 $ ed $ 1 $ e, allora, la parte intera sara` sempre $ 0 $, dopo tale valore. Occorre quindi trovare tale valore. Dovra` essere:
$ \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor<1 $, da cio` segue che deve essere
$ 0< 1/2^n(5000/2^n+1/2) <1 $.
Essendo sempre maggiore di zero, possiamo considerare la disuguaglianza: $ 1/2^n(5000/2^n+1/2)<1 $, che si risolve facilmente ponendo $ 2^n=t $. Ora, essendo sempre $ 2^n>0 $, occorre solo considerare I valori di $ n $ positivi che risolvono la disuguaglianza. Viene (se volete posso postare i calcoli) $ 2^n> (1+sqrt(80001))/4 \approx 70 $. Da cio ` segue che, dovendo essere $ n \in \mathbb{N} $, per $ n \geq 7 $, $ \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor$ sia $ 0 $ e, allora, non deve essere considerata nella somma (infatti, sarebbe, dopo $n=6$, una somma infinita di zero).
La somma iniziale si puo` dunque riscrivere nel seguente modo: $ sum_(n=0)^6 \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor $, che e` uguale a $ 6664 $.
Semplifichiamo nel seguente modo: $ sum_(n=0)^infty \lfloor (10000+2^n)/2^(2n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 10000/2^(2n+1)+2^n/2^(2n+1) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 5000/2^(2n)+1/2^(n+1) \rfloor
= sum_(n=0)^infty \lfloor 1/2^n(5000/2^n)+1/2^n(1/2) \rfloor = sum_(n=0)^infty \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor $
Ora, notiamo che dopo un certo valore di $ n $, l'espressione sara` sempre tra $ 0 $ ed $ 1 $ e, allora, la parte intera sara` sempre $ 0 $, dopo tale valore. Occorre quindi trovare tale valore. Dovra` essere:
$ \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor<1 $, da cio` segue che deve essere
$ 0< 1/2^n(5000/2^n+1/2) <1 $.
Essendo sempre maggiore di zero, possiamo considerare la disuguaglianza: $ 1/2^n(5000/2^n+1/2)<1 $, che si risolve facilmente ponendo $ 2^n=t $. Ora, essendo sempre $ 2^n>0 $, occorre solo considerare I valori di $ n $ positivi che risolvono la disuguaglianza. Viene (se volete posso postare i calcoli) $ 2^n> (1+sqrt(80001))/4 \approx 70 $. Da cio ` segue che, dovendo essere $ n \in \mathbb{N} $, per $ n \geq 7 $, $ \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor$ sia $ 0 $ e, allora, non deve essere considerata nella somma (infatti, sarebbe, dopo $n=6$, una somma infinita di zero).
La somma iniziale si puo` dunque riscrivere nel seguente modo: $ sum_(n=0)^6 \lfloor 1/2^n(5000/2^n+1/2) \rfloor $, che e` uguale a $ 6664 $.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo