Somma serie geometrica infinita
Si consideri la somma $S$ dei primi $n+1$ termini della serie geometrica di primo termine $a$ e ragione $r$: $S=\sum_{k=0}^{n}ar^k$. Moltiplicando $S$ per $r$ e sottraendo $S$ a $rS$, si ottiene con elementari manipolazioni algebriche $S=a\frac{1-r^(n+1)}{1-r}$.
Ora, supponiamo che tale sommatoria sia infinita, supponiamo che ci sia scritto $\infty$ invece di $n$.
Applicando lo stesso procedimento, abbiamo $S=ar^0+ar^1+...$, $rS=ar^1+ar^2+...$ e $S-rS=ar^0=a$. Segue che $S=\frac{a}{1-r}$.
In questi procedimenti non ci si è riferiti in alcun modo al fatto che $|r|$ sia maggiore o minore di $1$. Se $|r|<1$ la serie geometrica converge, e la formula precedente ce ne restituisce il limite. Se $|r|>1$ la serie geometrica diverge. Qual è in quest'ultimo caso il senso dell'espressione $S=\frac{a}{1-r}$? Tale espressione restituirebbe un valore finito! Dove sto sbagliando?
Ora, supponiamo che tale sommatoria sia infinita, supponiamo che ci sia scritto $\infty$ invece di $n$.
Applicando lo stesso procedimento, abbiamo $S=ar^0+ar^1+...$, $rS=ar^1+ar^2+...$ e $S-rS=ar^0=a$. Segue che $S=\frac{a}{1-r}$.
In questi procedimenti non ci si è riferiti in alcun modo al fatto che $|r|$ sia maggiore o minore di $1$. Se $|r|<1$ la serie geometrica converge, e la formula precedente ce ne restituisce il limite. Se $|r|>1$ la serie geometrica diverge. Qual è in quest'ultimo caso il senso dell'espressione $S=\frac{a}{1-r}$? Tale espressione restituirebbe un valore finito! Dove sto sbagliando?
Risposte
se la serie diverge, la somma vale infinito...
Se $S=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ allora $S-rS=a(1-r^{n+1})$, dicendo che per $n \rightarrow +\infty$ risulta $S-rS=a$ hai supposto che $|r|<1$ altrimenti sarebbe divergente.
"dan95":
dicendo che per $n \rightarrow +\infty$ risulta $S-rS=a$ hai supposto che $|r|<1$ altrimenti sarebbe divergente.
Abbiamo $S=a+ar+ar^2+ar^3+...$ e $rS=ar+ar^2+ar^3+...$. Fin qui non c'è nessuna supposizione sul valore di $r$.
Ora, indipendentemente dal valore di $r$, sottraendo $rS$ a $S$ tutti i termini si cancellano a parte $a$. Abbiamo dunque $S-rS=a$. Da qui si giunge a $S=\frac{a}{1-r}$.
Questa espressione, a cui si arriva senza porre alcuna condizione su $r$, non ha ovviamente senso se $|r|>1$.
Ma il fatto è che non ho qui usato nessuna nozione di limite, ripeto, non ho posto nel procedimento alcuna condizione su $r$. Dove sbaglio?
Spero sia riuscito a chiarire dove sta il problema...
Per $|r| \geq 1$ risulta $|S|=+\infty$, non ha senso operare con termini infiniti...
Hai fatto questo:
$\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n-\lim_{n \rightarrow +\infty} rS_n=\pm \infty -(\pm \infty)$
che è una forma indeterminata.
Hai fatto questo:
$\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n-\lim_{n \rightarrow +\infty} rS_n=\pm \infty -(\pm \infty)$
che è una forma indeterminata.
"dr00ster":$∞$ non è un numero!
Dove sbaglio?
_______


Ok, ok, voglio però rilanciare. Chiarissimo nel caso $r$ sia un numero.
Perché, però, se sto trattando con una serie formale di potenze tale procedimento (cancellare i termini simili, scrivere $S-rS=a$) è lecito? In altre parole, se ho la funzione generatrice $G(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...$ come arrivo a scrivere tale funzione in forma chiusa $G(x)=\frac{1}{1-x}$?
Grazie mille in anticipo!!!
Perché, però, se sto trattando con una serie formale di potenze tale procedimento (cancellare i termini simili, scrivere $S-rS=a$) è lecito? In altre parole, se ho la funzione generatrice $G(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...$ come arrivo a scrivere tale funzione in forma chiusa $G(x)=\frac{1}{1-x}$?
Grazie mille in anticipo!!!

$G(x)$ è definita per $|x|<1$ altrimenti diverge, ti stai elucubrando per nulla
quanto vale $sum_(n=0)^(infty)(-1)^n$?
$sum_(n=0)^(k)(-1)^n=1-1+1-1+...+(-1)^k$
È chiaro che se $k$ è pari vale $1$ e se $k$ è dispari vale $0$
Parlando all'infinito mi potresti dire 'ci sono infinite coppie di $(1+(-1))$ che si annullano a vicenda e quindi fa $0$. Eh ma ci sono anche infinite terne di $(1+(-1)+1)$ e allora fa anche $1$ e infinite quaterne che fanno $0$ e così via. Quindi cosa puoi dire se non che sia indeterminata? $infty$ non è un numero è più una filosofia con un certo rigore.
Perfetto, credo di aver chiarito, grazie.