Somma serie geometrica infinita

[dr00ster]

Si consideri la somma $S$ dei primi $n+1$ termini della serie geometrica di primo termine $a$ e ragione $r$: $S=\sum_{k=0}^{n}ar^k$. Moltiplicando $S$ per $r$ e sottraendo $S$ a $rS$, si ottiene con elementari manipolazioni algebriche $S=a\frac{1-r^(n+1)}{1-r}$.

Ora, supponiamo che tale sommatoria sia infinita, supponiamo che ci sia scritto $\infty$ invece di $n$.
Applicando lo stesso procedimento, abbiamo $S=ar^0+ar^1+...$, $rS=ar^1+ar^2+...$ e $S-rS=ar^0=a$. Segue che $S=\frac{a}{1-r}$.

In questi procedimenti non ci si è riferiti in alcun modo al fatto che $|r|$ sia maggiore o minore di $1$. Se $|r|<1$ la serie geometrica converge, e la formula precedente ce ne restituisce il limite. Se $|r|>1$ la serie geometrica diverge. Qual è in quest'ultimo caso il senso dell'espressione $S=\frac{a}{1-r}$? Tale espressione restituirebbe un valore finito! Dove sto sbagliando?

[kobeilprofeta]

se la serie diverge, la somma vale infinito...

[dan952]

Se $S=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ allora $S-rS=a(1-r^{n+1})$, dicendo che per $n \rightarrow +\infty$ risulta $S-rS=a$ hai supposto che $|r|<1$ altrimenti sarebbe divergente.

[dr00ster]

"dan95":dicendo che per $n \rightarrow +\infty$ risulta $S-rS=a$ hai supposto che $|r|<1$ altrimenti sarebbe divergente.

Abbiamo $S=a+ar+ar^2+ar^3+...$ e $rS=ar+ar^2+ar^3+...$. Fin qui non c'è nessuna supposizione sul valore di $r$.

Ora, indipendentemente dal valore di $r$, sottraendo $rS$ a $S$ tutti i termini si cancellano a parte $a$. Abbiamo dunque $S-rS=a$. Da qui si giunge a $S=\frac{a}{1-r}$.
Questa espressione, a cui si arriva senza porre alcuna condizione su $r$, non ha ovviamente senso se $|r|>1$.

Ma il fatto è che non ho qui usato nessuna nozione di limite, ripeto, non ho posto nel procedimento alcuna condizione su $r$. Dove sbaglio?

Spero sia riuscito a chiarire dove sta il problema...

[dan952]

Per $|r| \geq 1$ risulta $|S|=+\infty$, non ha senso operare con termini infiniti...

Hai fatto questo:
$\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n-\lim_{n \rightarrow +\infty} rS_n=\pm \infty -(\pm \infty)$
che è una forma indeterminata.

[Erasmus_First]

"dr00ster":Dove sbaglio?

$∞$ non è un numero!

Tu, da un lato hai preso $∞$ come un numero (sostituendolo ad n grandea piacere), dall'altro hai implicitamente ammesso che, propro per essere $∞$ "infinito", $∞$ e $∞ + 1$ sono la stessa cosa.
Infatti, nel fare $S-rS$, hai cancellato TUTTI i termini di $rS$ ed invece TUTTI i termini MENO IL PRIMO di $S$.
Nella riduzione di una espressione algebrica si sommano i termini SIMILI in un unico termine.
Quindi, giustamente metti insieme l'addendo $ar^k$ di $S$ con l'addendo $-ar^k$ di $-rS$. E se tratti $∞$ come un numero tanto grande che più grande non si può (ma sempre come numero), a parte il fatto che non finirai mai di fare quegli accoppiamenti, avrai sempre un ultimo termine di $–rS$ di grado maggiore dell'ultimo termine di $S$, ossia senza gemello algebricamente a lui simile col quale operare la riduzione.
Col tuo simbolismo (mettendo, come dici tu, $∞$ al posto di $n$) trovi
$S = a(1-r^(∞+1))/(1-r)$
che per r > 1 è appunto infinito.

_______

[dr00ster]

Ok, ok, voglio però rilanciare. Chiarissimo nel caso $r$ sia un numero.

Perché, però, se sto trattando con una serie formale di potenze tale procedimento (cancellare i termini simili, scrivere $S-rS=a$) è lecito? In altre parole, se ho la funzione generatrice $G(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...$ come arrivo a scrivere tale funzione in forma chiusa $G(x)=\frac{1}{1-x}$?

Grazie mille in anticipo!!!

[dan952]

$G(x)$ è definita per $|x|<1$ altrimenti diverge, ti stai elucubrando per nulla

[anto_zoolander]

$G_k(x)=1+x+...+x^k$

$G_k(1)=k+1$ chiaramente se $k->+infty$ allora $G(x)->+infty$

${(xne1),(G_k(x)=((1+x+...+x^k)(1-x))/(1-x)):}$

Svolgendo tutti i prodotti si ottiene $G_k(x)=(1-x^(k+1))/(1-x)$

Definisco $lim_(k->+infty)G_k(x)=G_infty(x)$(perchè fa figo)

Calcolando $G_infty(x)=lim_(k->+infty)[(1-x^(k+1))/(1-x)]$ è chiaro che quel limite converge se e solo se $|x|<1$

Dunque se prendi $x in(-1,1)$ allora $G_infty(x)=1/(1-x)$

Ma questo dovrebbe esser un fatto ben noto da $sum_(n=0)^(k)q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)$

La cosa che si chiama serie non è altro che:

$lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(n)a_k:=sum_(k=0)^(infty)a_k$

Ossia il limite della successione delle somme parziali. Non è che abbia molto senso dire 'sommo infinite cose', quindi quando lavori con le serie non puoi trattarle come normali quantità, stai pur sempre considerando un limite.
Finché operi per un numero finito di addendi, allora possiamo anche parlarne, ma se sei all'infinito no.

quanto vale $sum_(n=0)^(infty)(-1)^n$?

$sum_(n=0)^(k)(-1)^n=1-1+1-1+...+(-1)^k$

È chiaro che se $k$ è pari vale $1$ e se $k$ è dispari vale $0$
Parlando all'infinito mi potresti dire 'ci sono infinite coppie di $(1+(-1))$ che si annullano a vicenda e quindi fa $0$. Eh ma ci sono anche infinite terne di $(1+(-1)+1)$ e allora fa anche $1$ e infinite quaterne che fanno $0$ e così via. Quindi cosa puoi dire se non che sia indeterminata? $infty$ non è un numero è più una filosofia con un certo rigore.

[dr00ster]

Perfetto, credo di aver chiarito, grazie.