Somma seni

[axpgn]

Qual è il valore massimo assunto dalla somma dei seni dei tre angoli di un triangolo?
Dimostrazione.


Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$ 3/2 sqrt(3) $
Il problema è immediatamente riconducibile ad un 'classico' geometrico: "dimostrare che, fra i triangoli inscritti in una circonferenza data, quello equilatero ha il massimo perimetro".
La difficoltà derivante dalla necessità di due variabili viene di solito superata operando in due fasi successive; prima si dimostra che, fissando un lato, il triangolo di perimetro massimo è quello acutangolo isoscele sulla base data, poi su può operare con una sola variabile.

Ciao

[axpgn]

Ciao e Buon Natale,

[Erasmus_First]

"axpgn":Qual è il valore massimo assunto dalla somma dei seni dei tre angoli di un triangolo?
Dimostrazione.

Ho fatto una mia dimostrazione prima di leggere quella di orsoulx (che riconduce il problema a trovare il triangolo a pertimetro massimo tra quelli inscritti nello stesso cerchio).
Se però si accetta che la ricerca degli estremanti di una funzione continua e derivabile si facia annullando la derivata, a me pare che sia più semplice lavorare direttamente sulle funzioni seno e coseno (degli angoli del triangolo).
Fissato un angolo (ovviamente tra 0 e π esclusi), col metodo dell'annullamento della derivata si trova subito che il massimo della somma dei seni si ha quando gli altri due angoli sono uguali. Siano questi di ampiezza α. Allora il terzo angolo è di ampiezza π-2α; e con il metodo dell'annullamento della derivata si trova che deve essere cos(α) = 1/2.

Sia fissato γ (con valore qualunque tra 0 e π esclusi). Allora β = π -(α+ γ) per cui
$sin(β) = sin[π-(α+γ)] = sin(α+γ) = sin(α)·cos(γ)+cos(α)·sin(γ)$
e la somma dei seni viene
$sin(α)·[1+cos(γ)] + cos(α)·sin(γ) +sin(γ)$.
Annullando la derivata rispetto ad α si trova:
$sin(α)/cos(α) =[1+cos(γ)]/sin(γ) = cos(γ/2)/sin(γ/2) = sin((π-γ)/2)/cos((π-γ)/2)$
ossia
$α=(π -γ)/2$
e quindi
$β = π -(π - γ)/2- γ = (π - γ)/2 = α$.
Con ciò, posto $γ=2x)$, la somma dei seni diventa
$2sin((π - γ)/2) + sin(γ) = 2cos(x)+2sin(x)cos(x)$ .
Annullando la derivata si ha:
$-sin(x) + cos^2(x) – sin^2(x) = 0$ ⇔ $2sin^2(x) + sin(x) -1 = 0$ ⇔ $sin(x) = (–1±3)/4$
Dovendo essere anche $sin(x) >0$ è senz'altro $sin(x) = 1/2$ ossia
$sin(γ)= (sqrt3)/2$.
In un triangolo rettangolo isoscele la somma dei seni degli angoli vale $1 + sqrt2$, e in un triangolo ottusangolo isoscele vale di meno di così.
Dunque l'angolo γ è acuto ed allora $sin(γ)= (sqrt3)/2$ vuol dire $γ=π/3$.
Con ciò, essendo $α = β = (π – γ)/2$, risulta pure $α = β = π/3$.
Sicché il triangolo con la massima somma dei seni degli angoli è il triangolo equiangolo e la somma dei seni dei suoi angoli è ovviamente
$3·sin(π/3) = 3sqrt3/2$

-––---

[axpgn]

Bel lavoro!


[ot]Però, se permetti, definirla "più semplice" rispetto a quella di orsoulx mi pare un tantino forzato

Non ho capito poi perché hai usato lo stile delle formule solo per le formule , mi ci è voluto un bel po' per capire che

"Erasmus_First": π

fosse $pi$ e non $n$ [/ot]

Cordialmente, Alex

[totissimus]

Propongo una soluzione senza derivate.

Se $\alpha$ e $\beta$ sono due angoli tali che: $\alpha\geq0,\beta\geq0,\alpha+\beta\leq\pi$
allora si ha: $sin(\alpha)+sin(\beta)\leq2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})$

e l'ugualianza sussiste solo per $\alpha=\beta$.

Dim.

$2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})-sin(\alpha)-sin(\beta)=sin(\frac{\alpha+\beta}{2})-sin(\alpha)+sin(\frac{\alpha+\beta}{2})-sin(\beta)=$

$=2sin(\frac{\beta-\alpha}{4})cos(\frac{3\alpha+\beta}{4})+2sin(\frac{\alpha-\beta}{4})cos(\frac{3\beta+\alpha}{4})=2sin(\frac{\beta-\alpha}{4})\left[cos(\frac{3\alpha+\beta}{4})-cos(\frac{3\beta+\alpha}{4})\right]=$

$=2sin(\frac{\beta-\alpha}{4})(-2)sin(\frac{4\alpha+4\beta}{8})sin(\frac{2\alpha-2\beta}{8})=-4sin(\frac{\beta-\alpha}{4})sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{4})=4[sin(\frac{\beta-\alpha}{4})]^{2}sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\geq0$

se $x_{i}\geq0,i=1,\ldots,n$ e $x_{1}+\ldots+x_{n}=\pi$ allora la
somma $sin(x_{1})+\ldots+sin(x_{n})$ assume il massimo valore per
$x_{i}=\frac{\pi}{n}i=1,\ldots,n$ .

Infatti se la somma assume il massimo per $x_{k}=\alpha_{k},k=1,\ldots,n$
e $\alpha_{1}\ne\alpha_{2}$ allora

$\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2},\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2},\alpha_{3},\ldots,\alpha_{n}$
soddisfano le condizioni e

$sin(\alpha_{1})+sin(\alpha_{2})+\ldots+sin(\alpha_{n})
Assurdo!.

Quindi $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{n}=\frac{\pi}{n}$ e
$sin(x_{1})+\ldots+sin(x_{n})\leq nsin(\frac{\pi}{n})$

[axpgn]

[ot]Per favore, metti sotto spoiler le tue soluzioni, grazie.[/ot]


Cordialmente, Alex