Somma di primi

[Pachisi]

Sia $p_n$ l'ennesimo primo. Dimostrare che, per $n \ge 3$, $1/p_1^2+1/p_2^2+...+1/p_n^2+1/(p_1p_2...p_n)<1/2$.

[orsoulx]

La serie dei reciproci dei quadrati converge a $ \pi^2/6 $, quindi la serie dei reciproci dei quadrati dispari converge a $ \pi^2/8 $.
Per $ n> 3 $ la somma cercata è maggiorata da $ \pi^2/8 -1+1/4 + 1/(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7) < 1/2 $.
Manca il caso $ n=3 $ che si può verificare direttamente $ 1/4 + 1/9 + 1/25 + 1/30=391/900<1/2 $.

Ciao
B.

[Pachisi]

Ok

[Sk_Anonymous]

Per il postulato di Bertrand $forall n >1$, esiste un primo $p$ tale che $n da ciò si ricava che $p_1p_2\cdots p_n >p_(n+1)$. Infatti si ha evidentemente $p_1p_2\cdots p_n >=2p_n$ e quindi il primo successivo a $p_n$ è minore del prodotto dei precedenti primi.
Sussistono perciò le seguenti relazioni:

$ 1/p_1^2+1/p_2^2+\cdots+1/p_n^2+1/(p_1p_2\cdotsp_n)< 1/p_1^2+1/p_2^2+\cdots+1/p_n^2+1/p_(n+1)^2<$

$1+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/(N-1)^2+1/N^2<$

$1+1/(1\cdot2)+1/(2\cdot3)+\cdots+\1/((N-2)\cdot(N-1))+1/((N-1)\cdotN)=$

$1+1-1/2+1/2-1/3+\cdots+1/(N-2)-1/(N-1)+1/(N-1)-1/N=2-1/N<2$, dove $N=p_(n+1)$.

[orsoulx]

"sprmnt21":Sussistono perciò le seguenti relazioni:....

--- da cui, per ottenere quanto richiesto da Pachisi, basta dimostrare che è sempre $ 2 \le 1/2 $.

[Sk_Anonymous]

vuoi sottilmente insinuare che ho sbajato traccia?

[Sk_Anonymous]

"sprmnt21":vuoi sottilmente insinuare che ho sbajato traccia?

provo a provare che (non sempre, ma in questo caso 2<=1/2).

si ha che $ 1/2^2>1/3^2, ..., 1/(N-1)^2>1/N^2$

quindi
$2> 1+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/(N-1)^2+1/N^2 > 1+2(1/3^2+1/5^2+\cdots+1/N^2)$

da cui la (vera) tesi.

[orsoulx]

"sprmnt21":da cui la (vera) tesi.

Devo aggiornarmi: senza dirmi alcunché hanno espulso $ 2 $ dai numeri primi!

[Sk_Anonymous]

accidenti, mi son perso il 2 per strada.
ma così mi sembrava sufficientemente carina, anche fermandosi a 3/4 al posto di 1/2.