Somma dei numeri naturali da 1 a infinito
Ciao a tutte/i; scrivo in questa sezione perché non so quale sia quella giusta inerente alla domanda. Quando avete un po’ di tempo, qualcuno può spiegarmi meglio i passaggi di questa dimostrazione trovata in rete.
Ho rimarcato in rosso dove inizio a non capire più.
1+2+3+...+ infinito = - 1/12
Dimostrazione
Chiamo s la somma in questione
s=1+2+3+....
allora
-3s = (1 - 4 )s = s - 4s = 1+2+3+4+.... - 4 (1+2+3+4+...) =
1+2+3+4+... - (4+8+12+16+...) =
sommo i termini pari della prima somma ai corrispondenti termini della seconda somma e ottengo
= 1 - 2 + 3 - 4+... =
= 1 - (2 - 3 + 4 - ...) =
= 1 - (1+1 - (2+1) + (3+1) - ...) =
= 1 - (1 - 2 + 3 - ...) - (1 - 1 + 1 - ....) =
ricordando come ci siamo ricavati -3s otteniamo
= 1 + 3s - (1 - 1 +1 - ...)
Ma se p = (1 - 1 + 1 - ...) = 1 - (1 - 1 + 1 - ....) = 1 - p
allora si ha che p = 1/2
Ritorniamo al risultato precedente:
-3s = 1 + 3s -1/2
da cui s = -1/12
Ho rimarcato in rosso dove inizio a non capire più.
1+2+3+...+ infinito = - 1/12
Dimostrazione
Chiamo s la somma in questione
s=1+2+3+....
allora
-3s = (1 - 4 )s = s - 4s = 1+2+3+4+.... - 4 (1+2+3+4+...) =
1+2+3+4+... - (4+8+12+16+...) =
sommo i termini pari della prima somma ai corrispondenti termini della seconda somma e ottengo
= 1 - 2 + 3 - 4+... =
= 1 - (2 - 3 + 4 - ...) =
= 1 - (1+1 - (2+1) + (3+1) - ...) =
= 1 - (1 - 2 + 3 - ...) - (1 - 1 + 1 - ....) =
ricordando come ci siamo ricavati -3s otteniamo
= 1 + 3s - (1 - 1 +1 - ...)
Ma se p = (1 - 1 + 1 - ...) = 1 - (1 - 1 + 1 - ....) = 1 - p
allora si ha che p = 1/2
Ritorniamo al risultato precedente:
-3s = 1 + 3s -1/2
da cui s = -1/12
Risposte
Non credo di aver capito.. la somma di infiniti numeri naturali è uguale a $-1/12$ ???
Esatto. Lo dice Odifreddi al minuto 9.55 di questo video https://www.youtube.com/watch?v=FCSaXPYJ1zk .
In seguito, cercando in rete, ho trovato questa; vedi: https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 344AAwisIj
In seguito, cercando in rete, ho trovato questa; vedi: https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 344AAwisIj
Ah ho capito..l'errore è ovviamente in $1-1+1-1+1-1...=1/2$
Leggi qua per migliori informazioni:
http://www.dmi.units.it/~tironi/Serie02.pdf
Viene spiegato bene come la serie $1-1+1-1+1-1+...$ e in generale la serie $a-a+a-a+a-...$sia indeterminata.
Leggi qua per migliori informazioni:
http://www.dmi.units.it/~tironi/Serie02.pdf
Viene spiegato bene come la serie $1-1+1-1+1-1+...$ e in generale la serie $a-a+a-a+a-...$sia indeterminata.
"Dario95":
Esatto. Lo dice Odifreddi al minuto 9.55 di questo video https://www.youtube.com/watch?v=FCSaXPYJ1zk
Quel gran bontempone di Odifreddi è ironico (ma non troppo) quando parla di quel risultato
Una spiegazione non elementare, ma comunque accettabilmente semplice (più che altro, non penso sia possibile trovarne una più semplice) di quel risultato si trova qui.
[ot]Sembrerò pitagorico, ma sono del parere che risultati del genere non vadano divulgati. A differenza dei pitagorici, non perché non sappiamo spiegarli, quanto perché per una persona mediamente istruita è facile comprendere l'apparente paradosso, mentre è molto più difficile capire la spiegazione. Noto una tendenza tristemente diffusa, che è quella di alcune persone di cercare in tutti i modi (tranne quelli scientifici) di dimostrare che "la matematica è sbagliata" o di smontare modelli fisici consolidati per Dio solo sa quale ragione (e su questo forum è possibile trovare qualche esempio in delle discussioni passate). Data questa tendenza, diffondere risultati del genere fa male alla società, perché le persone cocciute, una volta convintesi dell'erroneità della matematica, di fronte ad una spiegazione che non colgono resteranno del loro parere e contribuiranno a diffondere questo spirito di scetticismo scientifico degno degli inquisitori, che alimenta tutta una serie di fenomeni sociali che hanno il risultato di diffondere in maniera preoccupante l'ignoranza e la disinformazione.[/ot]
Comprendo il punto di vista espresso in Off topic; gli eretici continueranno a divulgare disinformazione a prescindere della conoscenza o meno di tali risultati, che sono solo pretesti. Altri pretesti li troverebbero comunque.
Ritornando alla sommatoria infinita di naturali.
Se prendessi in considerazione 1+1+1+1+1+… otterrei lo stesso risultato?
1+1+1+1+1+… lo potrei sempre scrivere come 1+(1+1)+(1+1+1)+…
Ritornando alla sommatoria infinita di naturali.
Se prendessi in considerazione 1+1+1+1+1+… otterrei lo stesso risultato?
1+1+1+1+1+… lo potrei sempre scrivere come 1+(1+1)+(1+1+1)+…
Beh, effettuando quel raggruppamento, sì. Il punto è che anche in contesti molto più regolari e controllati, i riarrangiamenti producono strani effetti. Non escludo che riarrangiando quella serie in modo diverso tu possa ottenere un "risultato" diverso, con le opportune manipolazioni.
"Epimenide93":
di smontare modelli fisici consolidati per Dio solo sa quale ragione (e su questo forum è possibile trovare qualche esempio in delle discussioni passate). Data questa tendenza, diffondere risultati del genere fa male alla società, perché le persone cocciute, una volta convintesi dell'erroneità della matematica, di fronte ad una spiegazione che non colgono resteranno del loro parere e contribuiranno a diffondere questo spirito di scetticismo scientifico degno degli inquisitori, che alimenta tutta una serie di fenomeni sociali che hanno il risultato di diffondere in maniera preoccupante l'ignoranza e la disinformazione.
Ma c'è chi ci crede davvero a queste dimostrazioni?
Allora tutte quelle che girano su facebook di $1=0$ fanno strage! xD
"Dario95":
Ciao a tutte/i; scrivo in questa sezione perché non so quale sia quella giusta inerente alla domanda. Quando avete un po’ di tempo, qualcuno può spiegarmi meglio i passaggi di questa dimostrazione trovata in rete.
Ho rimarcato in rosso dove inizio a non capire più.
1+2+3+...+ infinito = - 1/12
Dimostrazione
Chiamo s la somma in questione
s=1+2+3+....
allora
-3s = (1 - 4 )s = s - 4s = 1+2+3+4+.... - 4 (1+2+3+4+...) =
1+2+3+4+... - (4+8+12+16+...) =
sommo i termini pari della prima somma ai corrispondenti termini della seconda somma e ottengo
= 1 - 2 + 3 - 4+... =
= 1 - (2 - 3 + 4 - ...) =
= 1 - (1+1 - (2+1) + (3+1) - ...) =
= 1 - (1 - 2 + 3 - ...) - (1 - 1 + 1 - ....) =
ricordando come ci siamo ricavati -3s otteniamo
= 1 + 3s - (1 - 1 +1 - ...)
Ma se p = (1 - 1 + 1 - ...) = 1 - (1 - 1 + 1 - ....) = 1 - p
allora si ha che p = 1/2
Ritorniamo al risultato precedente:
-3s = 1 + 3s -1/2
da cui s = -1/12
L'errore si annida nella parte in grassetto, in cui si manipola un simbolo (\(\infty\)) come se fosse un qualsiasi numero reale: ciò è dovuto all'introduzione di una notazione impropria (\(s\)) che fa perdere di vista la natura di ciò che si sta manipolando.
Infatti, evidentemente \(-3s=-\infty\), però alla somma \(s-4s=\infty-\infty\) non è attribuito alcun significato ed a fortiori essa non può essere uguale a \(-\infty\).
Tutto il resto è noia. (cit.)
In generale, ogni dimostrazione che procede usando molti cambiamenti di variabile/di simboli[nota]E.g., tutte le varie pseudo-dimostrazioni della congettura di Goldbach che sono passate per queste pagine erano sballate perché, procedendo per cambiamenti di variabile, alla fine gli autori perdevano il filo dei ragionamenti ed asserivano tautologie che non dimostravano un bel nulla (se non la validità di un cambiamento di variabile fatto in precedenza).[/nota] è sempre da prendere con le pinze, perché alla fine si corre un alto rischio di confondersi.
Per spezzare una lancia in favore del buon Ramanujan c'è anche da dire che il risultato discusso nella fattispecie non è completamente inutile, a differenza di certe pseudo-dimostrazioni buone solo per diagnosticare la sindrome del genio incompreso 
Grazie. E' una spiegazione molto costruttiva.
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