Somma bestiale

[FreddyKruger]

Sia $S=1\cdot 3-5\cdot 7+9\cdot 11-13\cdot 15+...-2005\cdot 2007+2009\cdot 2011$.
Trovare $S$.

[Studente Anonimo]

Soluzione:
$S=sum_(j=0)^\251\(1+8j)(3+8j)-sum_(j=0)^\250\(5+8j)(7+8j)$

[xXStephXx]

Hai solo riscritto l'espressione iniziale credo. Lui vuole il valore numerico.

[Studente Anonimo]

Be io so quanto fa. Banale. Basta applicare alcune proprietà. Il problema era si il risultato, ma prima di tutto l'espressione che permetta di trovare il risultato.

[xXStephXx]

Vabbè ma a questo punto cambia poco tra la scrittura iniziale e la riscrittura in quel modo.

[Studente Anonimo]

Grazie allora mi imposto tutto su Excel o Mathematica e mi da il risultato bello e pronto. Non penso volesse dire solo questo. Se ti avesse dato ad esempio fino a $1000000$ che avresti fatto?

[xXStephXx]

Bè, trova allora una forma chiusa con la quale esegui sempre lo stesso numero di conti per arrivare alla soluzione a prescindere dal numero di arrivo. Mettiamo che lo devi calcolare a mano, di certo non useresti quella sommatoria.

[Studente Anonimo]

Cosa userei?

[Studente Anonimo]

$S=sum_(j=0)^\251\(1+8j)(3+8j)-sum_(j=0)^\250\(5+8j)(7+8j)$

$S=sum_(j=0)^\251\(3+8j+24j+64j^2)-sum_(j=0)^\250\(35+40j+56j+64j^2)$

$S=sum_(j=0)^\251\(3+32j+64j^2)-sum_(j=0)^\250\(35+96j+64j^2)$

$S=3sum_(j=0)^\251\1+32sum_(j=0)^\251\j+64sum_(j=0)^\251\j^2-35sum_(j=0)^\250\1-96sum_(j=0)^\250\j-64sum_(j=0)^\250\j^2$

$S=756+1.012.032+339.368.064-8.785-3.012.000-335.336.000=2.024.067$

[PZf]

Va meglio, solo che è inutile calcolarsi esplicitamente $\sum_{j=0}^{251}j^2$ e $\sum_{j=0}^{250}j^2$ per poi scoprire quanto fa $64\sum_{j=0}^{251}j^2-64\sum_{j=0}^{250}j^2$. Basta sostituire $64\sum_{j=0}^{251}j^2-64\sum_{j=0}^{250}j^2=64\cdot 251^2$.
Analogo discorso per $\sum j$ e $\sum 1$.
Poi sostituisci $\sum_{j=0}^n 1 = n+1$ e $\sum_{j=0}^n j = (n(n+1))/2$ e hai finito, trovando una formula chiusa che non richiede Excel o Mathematica per essere utilizzata (sono convinto che fosse questo ciò che voleva FreddyKruger).

[Studente Anonimo]

Certamente. Ho fatto vedere tutti i passaggi ben sapendo della semplificazione da te fatta. Grazie comunque.