So la risposta ma non so come si dimostra.

[Erasmus_First]

[size=100]«Dato un poligono regolare, quanto vale il prodotto delle distanze di un vertice da tutti gli altri?» [/size]

Si tratta di un vecchio quiz che suppongo sia già circolato qui in "Matematicamente".

Detti r il raggio del cerchio circoscritto ed n il numero di lati, la risposta è
$n·r^(n–1)$
(come si trova ... "sperimentalmente" provando per r = 1 ed n = 3, 4, 5, 6; e con opportuno programmino ad hoc anche per altri n ...a piacere).

Confesso, però, di non essere [per ora!] riuscito a dimostrare "teoricamente" il risultato in generale (per n indeterminato).

Posto (per comodità) unitario il raggio del cerchio circoscritto e detto n il numero di lati, risulta subito che il cercato prodotto è:
P(n) = [2^(n-1)]·. (*)

Evidentemente il succo del quiz sta nel calcolare, in generale, (per ogni n intero maggiore di 2), il prodotto
[size=85]n-1[/size]
[size=150]∏[/size] sin(kπ/n) .
[size=85]k=1[/size]

Come ho detto, se si prova per n = 3, 4, 5 e 6, il prodotto (*) dà sorprendentemente:
P( 3) = 3; P(4) = 4; P(5) = 5; P(6)=6.
Allora viene il sospetto che in generale sia proprio P(n) = n.
E questo risultato mi è confermato "sperimentalmente" per qualsiasi n dal programma "Grapher" (per APPLE in OS X).

Qualcuno sa dimostrare "teoricamente" che è proprio così?
––––––

[orsoulx]

Scrivo un'idea, tutta da verificare, perché sulla convergenza nel campo complesso, il più è ormai dimenticato e mi manca la voglia di rinfrescare.

se $ lim_(z -> 1) |(z^n-1)/(z-1)|=n $, il resto è in discesa.
L'equazione $ z^n-1=0 $ si può scomporre nella produttoria dei binomi $ z-z_k $ dove $ z_k $ è la k-esima soluzione.
Dividendo ambo i membri per $ z-1 $, prendendo i moduli dei due membri e facendone il limite per z tendente a 1, il primo membro diventa il limite che ho scritto sopra ed il secondo $ 2^(n-1) $ per il prodotto che stai cercando.

Ciao

[Erasmus_First]

@ orsoulx
Vedo che ... "mi curi" (come dicono a Milano). E questo mi fa piacere.

Aveo replicato (anch'io con "spoiler") in dialogo con te ma non ancora inviato. Non so poi per quale errata manovra si è chiusa la finestra ... e non ho più trovato quel che avevo scritto-
Ma è meglio così: era una lungaggine in cui mi sforzavo di ricordare quel che avevo fatto l'anno scorso (che aveva a che fare con quel che mi dici ora ... ma dall'anno scorso ad oggi la mia memoria è diventata un colabrodo!)

Quel che ricordo è che nel singolo esempio (ero arrivato a n = 13) riuscivo a trasformare quel prodotto di funzioni circolari in somma di funzioni circolari [si dice prostaferesi? Non sono più sicuro di niente!], ma non ero riuscito a farlo in generale

Speravo che qualcuno avesse in tasca una dimostrazione semplice e diretta (per esempio "per induzione" su n).
Ciao ciao.

––––––––––––

[milizia96]

Se si indica con $z$ una radice $n$-esima (primitiva) dell'unità, allora
$$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = (x-z)(x-z^2)\dots (x-z^{n-1})$$
perché, se si moltiplicano entrambi i membri per $(x-1)$ si ottiene lo stesso polinomio (vale a dire $x^n-1$) sia a destra che a sinistra.

Se il raggio del poligono è lungo $1$, allora a noi interessa calcolare
$$\prod_{i=1}^{n-1}\left|1-z^i\right| = \prod_{i=1}^{n-1}\sqrt{(1-z^i)(1-z^{n-i})} = \prod_{i=1}^{n-1}(1-z^i)$$
La prima uguaglianza vale perché $z^i$ e $z^{n-i}$ sono uno il coniugato dell'altro.
L'ultima uguaglianza si ottiene "riordinando" i termini.

L'ultima produttoria è uguale a $n$ (basta porre $x=1$ nell'identità scritta all'inizio).