[SNS 75-76] Parità e quadrati perfetti

[XaLeX9xe]

Un esercizio molto facile dai test d'ammissione alla sns del '75-'76, sezione matematica, problema 2.
Sono alle prime armi con questo tipo di problemi, quindi scrivo la mia banale soluzione nella speranza di un confronto con voi

Testo del problema:
Un bambino sta giocando con cubi di legno, tutti uguali fra loro. Egli dispone questi cubi in maniera da ricoprire un quadrato. Un fratello vuole
fare anche lui lo stesso gioco con quei cubi. La madre, per mettere accordo
tra i due, divide i cubi fra i due bambini, in parti uguali, e dice loro di ricoprire con i cubi loro assegnati due quadrati.
Quanto pensate che la madre abbia profittato dei suoi studi medi di
matematica? Giustificate il vostro giudizio.

Mia soluzione:

Dal testo si deduce che il numero iniziale di cubi è un quadrato perfetto, e che è divisibile per due.

Si dimostra facilmente che nessun numero dispari può godere contemporaneamente di tali proprietà:
Preso \(\displaystyle n \in \mathbb{N}, n\ge0 \),
\(\displaystyle (2n+1)^2 = (4n^2+4n+1)\equiv 1 mod 2 \)

Il numero iniziale di cubi posseduti dal primo bambino sarà quindi un numero pari elevato al quadrato: \(\displaystyle (2n)^2 = 4n^2 \).
Se la madre divide tali cubi in parti uguali tra i due figli, ciascuno di loro ne riceverà \(\displaystyle (4n^2)/2 = 2n^2 \).
Tale numero non è un quadrato perfetto perchè \(\displaystyle \sqrt{2n^2} = n\sqrt{2} \), e \(\displaystyle \sqrt{2}\notin\mathbb{N} \). I due figli non saranno quindi più in grado di giocare a formare un quadrato coi cubetti di legno.

N.B. Avrei potuto giustificare rigorosamente l'ultimo passaggio dicendo che \(\displaystyle 2n^2 \) ha come fattore un due con esponente dispari, e quindi non è un quadrato perfetto?

Grazie a tutti in anticipo

[xXStephXx]

I cubi sono in numero pari, altrimenti la madre non avrebbe potuto dividerli in parti uguali.. Poichè ricoprono un quadrato, sono multipli di 4. Quindi il quadrato è costituito da \(\displaystyle 4n^2 \) cubi. Dividendoli per 2 si ottengono \(\displaystyle 2n^2 \) che chiaramente non è un quadrato visto che \(\displaystyle n^2 \) dovrebbe contenere una potenza di 2 con esponente dispari, il che è impossibile.

[edit]
Ho visto il tuo spoiler.. Si potevi anche dire quello che hai scritto in NB.

[isaac888]

Io ho una soluzione ancora più veloce, ma siccome penso che vi sia passata dalla mente anche a voi, mi chiedo come mai non l'abbiate scritta. (Avrò ragionato male io?...)

Dal momento che non è specificato il numero di cubi, credo che la richiesta abbia un pò il significato di :"E' sempre possibile farlo?".
Perciò se trovo un controesempio sia al caso con numero di cubi dispari, sia al caso con numero di cubi pari ho vinto.
In realtà per come è scritto il problema direi che basta solo il controesempio in un caso (quello pari, perchè se i cubi iniziali fossero dispari non sarebbe possibile nemmeno dividerli in due parti uguali).
Perciò se i cubi fossero pari ci sarebbe almeno il caso con numero di cubi uguale a 2 che non funzionerebbe, perchè 2 cubi non farebbero un quadrato.

[milizia96]

Non bisogna vedere se è sempre possibile, bisogna dimostrare che è impossibile, quindi non va bene esporre solo controesempi.
Comunque neanche il tuo è un vero controesempio, perché all'inizio non ci possono essere 2 cubi in quanto essi non possono formare un quadrato. Ricordati che un controesempio deve rispettare le ipotesi del problema.

[donald_zeka]

Spigolo cubo= $l$, Area quadrato= $l*l=l^2$, il numero di cubi deve essere un quadrato perfetto, ma un quadrato perfetto diviso per due non lo è più...

[isaac888]

"milizia96":Non bisogna vedere se è sempre possibile, bisogna dimostrare che è impossibile, quindi non va bene esporre solo controesempi.
Comunque neanche il tuo è un vero controesempio, perché all'inizio non ci possono essere 2 cubi in quanto essi non possono formare un quadrato. Ricordati che un controesempio deve rispettare le ipotesi del problema.

Daccordo. Ho commesso un piccolo errore di distrazione. I cubi non possono essere 2. Vabbè... allora saranno 4 (il più piccolo quadrato pari non nullo). Cambia poco! Fatto sta che non sono daccordo con il discorso "Non bisogna vedere se è sempre possibile, bisogna dimostrare che è impossibile, quindi non va bene esporre solo controesempi".
Perchè se leggi il testo non c'è scritto da nessuna parte che la cosa vada dimostrata. Si chiede solo di "giustificare" un giudizio su una domanda che non è espressa nè in maniera formale, nè in maniera quantitativa.
Non che abbia paura di risolvero con una dimostrazione, ma chiedevo come mai nessuno avesse pensato di dare un controesempio come ho fatto io dal momento che questo avrebbe giustificato il fatto che "in generale" non è sempre possibile. Questo permetterebbe di dire, in assenza di informazioni quantitative ulteriori, che il problema, così come è posto, potrebbe non avere alcuna soluzione (in funzione del numero iniziale di cubi). Tutto ciò a priori ovviamente.
Per cui, supponendo che la madre avesse avuto la pretesa che il gioco sarebbe potuto funzionare (a prescindere dal numero di cubi iniziale), si sarebbe sbagliata.

ps: spero di aver fatto capire cosa intendo. Comunque secondo me la domanda è troppo "libera".