SNS 2017 - n.2
Non riesco a raccapezzarmi con l'esercizio n.2 del test di ammissione 2017 alla normale.
Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Siano $ \alpha, \beta, \gamma $ e $ \delta $ $ \in \mathbb {R} $. Denotiamo con $ S $ l'insieme dei punti $ (x, y, z) $ dello spazio euclideo tali che $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
Supponiamo poi che per certi numeri reali $ r, s $ accada che per ogni $ (x, y, z) \in S $ si abbia $ z \leq rx + sy $.
Dimostrare che in tal caso c'è un numero $ t \in \mathbb {R} $ con $ 0 \leq t \leq 1 $ tale che $ r = t \alpha + (1-t) \gamma $ e $ s = t \beta + (1-t) \delta $.
Nota: nella soluzione potete assumere che $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $, $ (\gamma, \delta) \neq (0,0) $ e che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte
Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Siano $ \alpha, \beta, \gamma $ e $ \delta $ $ \in \mathbb {R} $. Denotiamo con $ S $ l'insieme dei punti $ (x, y, z) $ dello spazio euclideo tali che $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
Supponiamo poi che per certi numeri reali $ r, s $ accada che per ogni $ (x, y, z) \in S $ si abbia $ z \leq rx + sy $.
Dimostrare che in tal caso c'è un numero $ t \in \mathbb {R} $ con $ 0 \leq t \leq 1 $ tale che $ r = t \alpha + (1-t) \gamma $ e $ s = t \beta + (1-t) \delta $.
Nota: nella soluzione potete assumere che $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $, $ (\gamma, \delta) \neq (0,0) $ e che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte
Risposte
Nessuno che abbia voglia di aiutarmi a risolvere questo problema? 
"Luca21":Io avrei voluto, ma ... non riesco nemmeno a capire il testo (che, oltre a contenere elementi per me incomprensibili, mi pare contorto e quasi volutamente di difficile comprensione).
Nessuno che abbia voglia di aiutarmi a risolvere questo problema?
In particolare:
1) Non so cosa vuol dire $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
2) : Non capisco la faccenda delle rette date con equazioni cartesiane. Ma non siamo nello spazio tridimensionale?
PI questo, per me un'equazione del tipo $αx + βy = 0$ è l'equazione cartesiana di un piano contenente tutto l'asse della terza coordinata z (uno dei piani del fascio che ha per asse l'asse delle z (intersezione dei piani di equazione $x = 0$ e $y = 0$).
Insomma: nello spazio tridimensionale le equazioni cartesiane lineari sono equazioni di "piani", non di rette!
Com'è 'sta storia?
3) Infine, che significa la nota?
“Nella soluzione potete assumere che $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $, $ (\gamma, \delta) \neq (0,0) $ e che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte».
"Potete" o "si deve"?
Se davvero "è possibile" ma "non è necessario", allora è lecito anche assumere $(α, β) = q(0,0)$, ecc.
E che è $q(0, 0)$? E' qualcosa di distinto da $(0, 0)$? Boh!
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Chiedo scusa. Oltre ad essere di formazione matematica "antica" – laureato in Ingegneria Elettrotecnica 56 anni fa ed in Scienze dell'infirmazione quasi 28 anni fa – sono ormai vecchio nella testa! (Forse alle soglie della cosiddetta "demenza senile")
Spero (ti auguro) che intervengano frequentatori come orssoulx e/o axpgn e/o giammaria/i] ... o altri in grado di capire e affrontare correttamente questo esercizio (per me più oscuro degli oracoli della sibilla cumana).
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Testi ufficiali qui: sns prove di ammissione al I anno di scienze 2017 18
Io non mi cimento. Non l'ho neppure letto con attenzione.
Io non mi cimento. Non l'ho neppure letto con attenzione.
In effetti il testo è proprio quello postato da Luca21.
Sarebbe bello che qualcuno postasse la soluzione
Sarebbe bello che qualcuno postasse la soluzione
Dato che Erasmus_First chiama in causa anche me, scrivo l'interpretazione che ho dato al testo; può senz'altro essere sbagliata, stante le mie scarse conoscenze di analitica tridimensionale. Aggiungo poi il mio tentativo di soluzione, non concluso.
a) La formula $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $ significa che, pensando ad un asse $z$ verso l'alto, dobbiamo stare al di sotto dei due piani $z=alpha x+beta y$ e $z=gamma x+delta y$; analogamente, dobbiamo stare al di sotto del piano $z=rx+sy$.
b) La $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $ significa che $alpha, beta$ non sono contemporaneamente nulli.
c) La frase "... che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte" è riferita ad un piano $(x,y)$ e significa solo che i coefficienti non sono proporzionali.
d) La frase "nella soluzione potete assumere che ..." significa che non è richiesto l'esame dei casi particolari in cui i punti b,c non sono verificati.
Tentativo di soluzione
Considero cosa succede in un piano del tipo $y="costante"$ e ne faccio un grafico con assi $(x,z)$: i tre piani di cui al punto a diventano tre rette e le prime due possono essere incidenti o parallele. Ho considerato solo il caso in cui si incontrano in un punto $P$: allora dobbiamo stare nell'angolo sottostante a queste due rette e la terza retta non deve attraversarlo. A questo scopo il suo coefficiente angolare deve essere compreso fra $alpha$ e $gamma$ e la posizione più bassa possibile si ha quando la terza retta passa anch'essa per $P$, cioè appartiene al fascio individuato dalle altre due. Non ho proseguito, dato che il problema mi interessava poco.
a) La formula $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $ significa che, pensando ad un asse $z$ verso l'alto, dobbiamo stare al di sotto dei due piani $z=alpha x+beta y$ e $z=gamma x+delta y$; analogamente, dobbiamo stare al di sotto del piano $z=rx+sy$.
b) La $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $ significa che $alpha, beta$ non sono contemporaneamente nulli.
c) La frase "... che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte" è riferita ad un piano $(x,y)$ e significa solo che i coefficienti non sono proporzionali.
d) La frase "nella soluzione potete assumere che ..." significa che non è richiesto l'esame dei casi particolari in cui i punti b,c non sono verificati.
Tentativo di soluzione
Considero cosa succede in un piano del tipo $y="costante"$ e ne faccio un grafico con assi $(x,z)$: i tre piani di cui al punto a diventano tre rette e le prime due possono essere incidenti o parallele. Ho considerato solo il caso in cui si incontrano in un punto $P$: allora dobbiamo stare nell'angolo sottostante a queste due rette e la terza retta non deve attraversarlo. A questo scopo il suo coefficiente angolare deve essere compreso fra $alpha$ e $gamma$ e la posizione più bassa possibile si ha quando la terza retta passa anch'essa per $P$, cioè appartiene al fascio individuato dalle altre due. Non ho proseguito, dato che il problema mi interessava poco.
Credo di aver trovato la soluzione.
I piani $z=alpha x+ beta y$ e $z=gamma x+ delta y$ passano entrambi per l'origine (0,0,0) e sono distinti, quindi si intersecano lungo una retta passante per l'origine; $S$ è uno dei diedri da essi formati. Il piano $z=rx+sy$ non deve attraversare quel diedro e perciò neanche quella retta, quindi gli è parallelo; ha però l'origine in comune con quella retta, che quindi giace interamente nel piano. Ne consegue che questo piano appartiene al fascio individuato dai primi due piani.
Facendo fascio con i parametri $u_1, u_2$ otteniamo
$u_1 z+u_2 z=u_1(alpha x+ beta y)+u_2(gamma x+ delta y)$
Se $u_1+u_2=0$ otteniamo il piano passante per l'asse $z$, che non ci interessa; escludendo questo caso, abbiamo
$z=(u_1 alpha+u_2 gamma)/(u_1+u_2) x+(u_1 beta+u_2 delta)/(u_1+u_2) y=rx+sy$
avendo indicato con $r,s$ i due coefficienti.
Fatta ora la sostituzione $t=u_1/(u_1+u_2)$ (da cui ricaviamo $1-t=u_2/(u_1+u_2)$), abbiamo
$r=alpha t+gamma(1-t);" "" "s=beta t+ delta(1-t)$
Dobbiamo ora imporre che il terzo piano non attraversi il diedro. Notiamo che deve essere falsa almeno una delle formule $gamma=alpha$ e $delta=beta$ perché altrimenti i due piani coinciderebbero; senza perdita di generalità, possiamo supporre che sia $gamma>alpha$.
Le intersezioni della figura col piano $y=y_0$ sono tre rette di coefficiente angolare $alpha, gamma, r$; la terza retta non è interna alla altre due (se non vi è chiaro, leggete il mio precedente intervento) se
$alpha<=r<=gamma=>alpha<=alpha t+gamma (1-t)<=gamma=>{(alpha<=alpha t+gamma(1-t)),(alphat +gamma(1-t)<=gamma):}$
Con pochi passaggi e ricordando poi che $gamma-alpha>0$ arriviamo a
${((gamma-alpha)(1-t)>=0),((gamma-alpha)t>=0):}=>{(t<=1),(t>=0):}=>0<=t<=1$
Nota: nel fare fascio sarebbe stato più rapido usare direttamente i coefficienti $t,1-t$, ma poi sarebbe stato necessario spendere qualche frase per mostrare che si è nel caso generale; per questo ho preferito usare i coefficienti $u_1,u_2$
I piani $z=alpha x+ beta y$ e $z=gamma x+ delta y$ passano entrambi per l'origine (0,0,0) e sono distinti, quindi si intersecano lungo una retta passante per l'origine; $S$ è uno dei diedri da essi formati. Il piano $z=rx+sy$ non deve attraversare quel diedro e perciò neanche quella retta, quindi gli è parallelo; ha però l'origine in comune con quella retta, che quindi giace interamente nel piano. Ne consegue che questo piano appartiene al fascio individuato dai primi due piani.
Facendo fascio con i parametri $u_1, u_2$ otteniamo
$u_1 z+u_2 z=u_1(alpha x+ beta y)+u_2(gamma x+ delta y)$
Se $u_1+u_2=0$ otteniamo il piano passante per l'asse $z$, che non ci interessa; escludendo questo caso, abbiamo
$z=(u_1 alpha+u_2 gamma)/(u_1+u_2) x+(u_1 beta+u_2 delta)/(u_1+u_2) y=rx+sy$
avendo indicato con $r,s$ i due coefficienti.
Fatta ora la sostituzione $t=u_1/(u_1+u_2)$ (da cui ricaviamo $1-t=u_2/(u_1+u_2)$), abbiamo
$r=alpha t+gamma(1-t);" "" "s=beta t+ delta(1-t)$
Dobbiamo ora imporre che il terzo piano non attraversi il diedro. Notiamo che deve essere falsa almeno una delle formule $gamma=alpha$ e $delta=beta$ perché altrimenti i due piani coinciderebbero; senza perdita di generalità, possiamo supporre che sia $gamma>alpha$.
Le intersezioni della figura col piano $y=y_0$ sono tre rette di coefficiente angolare $alpha, gamma, r$; la terza retta non è interna alla altre due (se non vi è chiaro, leggete il mio precedente intervento) se
$alpha<=r<=gamma=>alpha<=alpha t+gamma (1-t)<=gamma=>{(alpha<=alpha t+gamma(1-t)),(alphat +gamma(1-t)<=gamma):}$
Con pochi passaggi e ricordando poi che $gamma-alpha>0$ arriviamo a
${((gamma-alpha)(1-t)>=0),((gamma-alpha)t>=0):}=>{(t<=1),(t>=0):}=>0<=t<=1$
Nota: nel fare fascio sarebbe stato più rapido usare direttamente i coefficienti $t,1-t$, ma poi sarebbe stato necessario spendere qualche frase per mostrare che si è nel caso generale; per questo ho preferito usare i coefficienti $u_1,u_2$
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