SNS 2013 - 6 (punto 3)

[Essor2]

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Mi servirebbe una mano per il punto 3. Come faccio a dimostrare che è invertibile?

[dan952]

Poniamo $u:=x+y$ e $z:=p(x,y)$ allora
\begin{equation}
z=\frac{u^2+3u}{2}-y \Rightarrow u^2+3u-2(z+y)=0
\end{equation}
l'equazione di secondo grado (1) ha soluzioni intere se è solo se
\begin{equation}
9+8(z+y)=k^2
\end{equation}
per ogni $k$ naturale tale che $8|k^2-1$, si verifica che questo vale per ogni $k$ dispari dunque poniamo $k=2n+1$ con $n \in \mathbb{N}$, dalla (2) ricaviamo che $y=n^2/2+n/2-z-1$, da cui $x= -n^2/2+n/2+z$, posto $n=0$ troviamo che un'inversa è data da $z \mapsto (z,-z-1)$, quindi $p(x,y)$ è invertibile. Tutto questo per svolgere anche il punto 2)

[Erasmus_First]

"Essor2":

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1) Se $x$ e $y$ sono entrambi pari o entìrambi dispari allora $x+y$ è pari (e quindi è pari anche $(x+y)^2$) ed è pari anche $3x+y = (x+y)+2x$.
Se $x$ e $y$ sono uno pari e l'altro dispari (e quindi è dispari anche $(x+y)^2$), allora è dispari anche $3x+y= (x+y)+2x$ e pertanto $(x+y)^2 + (3x+1)$ è pari perché somma di due dispari.

2) Posto (per comodità) $p = p(x,y)$, esplicito $y$ imponendogli di essere un naturale. Ottengo:
$(x+y)^2+3x+y = 2p$ ⇔ $y^2 + (2x+1)y -(2p-x^2 - 3x)=0$ ⇒ $y=(-(2x+1)+sqrt(4x^2 + 4x + 1 + 8p - 4x^2 -12x))/2 = (sqrt(8(p-x)+1)-(2x+1))/2$.
Posto $∆=p-x$, $8∆+1$ deve essere quadrato di un intero. Per tentativi trovo i primi (piccoli) $∆$, cioè:
$∆=0, 1, 3, 6, 10, ...$.
Mi accorgo allora che si tratta della successione dei numeri triangolari, quelli del tipo $(n(n+1))/2$ $∀ n ∈ NN$.
In effetti, per $∆=(n(n+1))/2$ viene $8∆+1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n+1)^2$. Risulta dunque:
• $x = p-(n(n+1))/2$ con $n$ tale che sia $x ≥0$ (quindi $n<63$ per $p=2013$).
••$y = n-(p-(n(n+1))/2) = n-x$, (e quindi $x+y = n$).
E ora verifichiamo!
$((x+y)^2 + (x+y) + 2x)/2 = (n^2 +n+ 2p-n(n+1))/2 = p$, OK!
In particolare, per $p=2013$:
$x= 2013 - (n(n+1))/2$ per $0 ≤ n ≤ 62$;
$y = n-x$ per $n ≥x$.
Non va bene $n > 62$ perché darebbe $x<0$.
Ma non va bene nemmeno $n <62$ perché darebbe $x > n$, cioè $n - x = y < 0$.
Quindi va bene solo $n=62$. ossia $(x, y) = (60, 2)$.
Verifica:
$(x, y) = (60, 2)$ ⇒ $((x+y)^2 + 3x + y)/2 = (62^2+13·60+2)/2 = 2013$; OK
Proviamo a spostare un'unità da $y$ a $x$.
$(x, y) = (61,1)$ ⇒ $((x+y)^2 + 3x + y)/2 = (62^2+3·61+1)/2 = 2014$: (Un'unità in eccesso).
Proviamo a spostare un'unità da $x$ a $y$.
$(x, y) = (59,3)$ ⇒ $((x+y)^2 + 3x+ y)/2 = (62^2+3·59+3)/2 = 2012$: (Un'unità in difetto).

3) Data la definizione di $p(x,y)$ e tenendo condo del punto 1), evidentemente ad ogni coppia $(x,y)$ di naturali corrisponde un solo naturale $p$ (che è il valore di $p(x,y)$) . Basta allora dimostrare che per ogni naturale $p$ c'è ed è unica la coppia di naturali $(x, y)$ tali che $p(x,y)$ valga $p$.
Nella discussione del punto 2) s'è visto che, in generale, se l'equazione $((x+y)^2 +3x+y)/2=p$ (con $p$ naturale) ha soluzioni naturali queste sono del tipo:
$x=p-(n(n+1))/2 ≥0$ e $y = n–x = (n(n+3))/2 - p ≥0$.
Dato dunque un $p$ naturale, esistono soluzioni se e solo se esiste qualche $n$ naturale tale che
(*) $n(n+3) ≥ 2p ≥ n(n+1)$.
Occorre e basta dimostrare che di $n$ che soddisfano la (*) ce n'è e ce n'è uno solo.
Per piccoli $p$ si vede direttamente che ciò è vero.
Più sotto, nel quadro (**) c'è la verifica di ciò per $p$ naturale tra 0 e 10 inclusi.
La soluzione non negativa dell'equazione in $n$:
(***) $(n(n+1))/2= p$
è
(**** $r=(sqrt(8p+1)-1)/2$.
Per $0≤p≤10$ si rileva direttamente [dallo stesso quadro (**)] che l'unico $n$ che va bene coincide con la parte intera di questo $r$.
Consideriamo ora $p$ intero positivo qualunque. Gli eventuali $n$ che vanno bene sono quelli che sodfdisfano le disequazioni:
(*) $n(n+3)≥ 2p ≥ n(n+1)$.
Sia $m$ il più grande degli $n$ tali che risulti $n(n+1) ≥ 2p$.
Allora $m$ è la parte intera di $r =(sqrt(8p+1)-1)/2$.
$n$ non può essere maggiore di $m$ se no $x$ viene negativo.
Siccome risulta $m(m+3) = (m(m+1) +2m ≥2p$, $n=m$ va bene.
$n$ non può essere minore di $m$ perché già per $n=m-1$ verrebbe
$n(n+3) = $(m-1)[(m-1)+3] = (m-1)(m+2) = m(m+1)-2 < 2p$, ossia $y<0$.
Dunque va mene solo $m$.
Riassumendo, c'è una sola coppia di naturali che si risolve l'equazione
$((x+y)^2 + 3x + y)/2 = p$
(dove $p$ è un naturale qualunque), e questa è
$(x, y) = (p-(m(m+1))/2, (m(m+3))/2 - p)$
dove $m$ è la parte intera del reale non negativo $(sqrt(8p+1)-1)/2$.

Quadro (**)
$p = 0$ ⇒ $(x, y) = (0,0)$ ⇔ $n=0$.
$p=1$ ⇒ $n(n+3) ≥ 2 ≥ (n(n+1)$ ⇒ $n=1$ ⇒ $(x, y) = (1,0)$;
$p=2$ ⇒ $n(n+3) ≥ 4 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=1$ ⇒ $(x, y) = (1,0)$;
$p=3$ ⇒ $n(n+3) ≥ 6 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=2$ ⇒ $(x, y) = (0,2)$;
$p=4$ ⇒ $n(n+3) ≥ 8 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=2$ ⇒ $(x, y) = (1,1)$;
$p=5$ ⇒ $n(n+3) ≥ 10 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=2$ ⇒ $(x, y) = (2,0)$;
$p=6$ ⇒ $n(n+3) ≥ 12 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=3$ ⇒ $(x, y) = (0,3)$;
$p=7$ ⇒ $n(n+3) ≥ 14 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=3$ ⇒ $(x, y) = (1,2)$;
$p=8$ ⇒ $n(n+3) ≥ 16 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=3$ ⇒ $(x, y) = (2,1)$;
$p=9$ ⇒ $n(n+3) ≥ 18 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=3$ ⇒ $(x, y) = (3,0)$;
$p=10$ ⇒ $n(n+3) ≥ 20 ≥ n(n+1)$ ⇒ $n=4$ ⇒ $(x, y) = (0,4)$;

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[Erasmus_First]

a) Come mai due soli interventi in risposta a questo interessante "quiz"?
E come mai Essor2 non si è più fatto vivo dopo l'intervento di dan95 che, gentilmente, ha risposto alla sua specifica domanda appena 5 ore dopo?

b) Io, però – intervenendo quasi due mesi dopo – non sono riuscito a seguire i passaggi indicati da dan95. Anzi: ho rinunciato a capirli dopo essere inciampato nella prima veloce lettura. Quindi mi sono disposto a risolvere autonomamente l'intero problemino.

c) Mi pare interesante riassumere i risultati.
1) Siano $x$ e $y$ due interi naturali qualunque. Data la funzione
$p(x,y) = ((x+y)^2 + 3x+ y)/2$,
si trova subito che $p(x,y)$ è naturale per ogni coppia $(x, y)$ di naturali. Infatti:
(*) $((x+y)^2+ 3x + y)/2 = ((x+y)[(x+y)+1])/2+x$.
2) Data la coppia di naturali $(a, b)$ e calcolato il naturale $p = p(a.b) =((a+b)^2 + 3a + y)/2$, si dimostra facilmente che NON ci sono altre coppie di naturali $(x, y)$ tali da dare $p(x.y) = p(a, b)$.
3) Dato il naturale $p$ (qualunque) e data l'equazione diofantea
$((x+y)^2+ 3x + y)/2 = p$
c'è ed è unica la coppia di naturali che risolve questa equazione. Tale coppia, posto:
(**) $n =$ <parte intera di $(sqrt(8p+1) -1)$/$2$,
è data da:
(***) $(x, y) = (p-(n(n+1))/2, (n(n+3))/2-p)$.
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[axpgn]

[ot]

"Erasmus_First":E come mai Essor2 non si è più fatto vivo dopo l'intervento di dan95 che, gentilmente, ha risposto alla sua specifica domanda appena 5 ore dopo?

Probabilmente appartiene alla categoria di utenti di cui si parla qui ... se vedi i suoi interventi, non chiude quasi mai ...[/ot]

Cordialmente, Alex

[dan952]

Dopo mesi rileggendo mi sono accorto che il dominio della funzione sono i naturali e non gli interi, ma non è un problema basta risolvere qualche disequazione