Sin(n)

[xXStephXx]

Dimostrare che $sin(n)$ con $n$ naturale si può avvicinare a piacimento a qualunque valore reale nell'intervallo $[-1,1]$.

Ovvero: scelgo un valore $\alpha$ in $[-1,1]$ e scelgo un $\epsilon > 0$. Qualunque siano $\alpha$ ed $\epsilon$ riesco a trovare un $n$ tale che $|sin(n)-\alpha| < \epsilon$.

[axpgn]

Ciao Steph

Per una volta ci provo (anche se con una soluzione cervellotica ... )

$pi$ è irrazionale.
Il suo inverso anche.
Quindi dato $n$ naturale $n/pi=n*1/pi$ è irrazionale.
Ora gli infiniti $n/pi$ hanno tutti la parte decimale diversa fra loro perché altrimenti accadrebbe che la loro differenza sarebbe un intero $k$ tale che $k=n_2/pi-n_1/pi=(n_2-n_1)/pi$ e quindi $pi=(n_2-n_1)/k$ in contraddizione con l'ipotesi.
Ma la parte decimale di $n/pi$ rappresenta un angolo (in radianti) compreso tra $0$ e $pi$ cioè $0 Perciò esistono infiniti angoli tutti diversi fra loro per ogni $n$.

Non ho capito se ho dimostrato quello che hai chiesto, però ci ho provato ... sperando di non aver detto cavolate ...

Cordialmente, Alex

[xXStephXx]

Hai dimostrato che $sin(n)$ non può assumere due volte lo stesso valore, che è un bene e torna utile. Però questo non basta per dire che ti puoi avvicinare a piacimento a qualunque valore in $[-1,1]$. Ad esempio può essere che tutti i valori siano distribuiti solo in alcuni sotto intervalli.

Utile anche il fatto che per avvicinarsi ad un certo valore di $sin(x_0)$ è sufficiente avvicinarsi all'angolo $x_0$. Infatti si dimostra che $|sin(x)-sin(x_0)| < |x-x_0|$ (con le formule di prostaferesi). Quindi è effettivamente sufficiente avvicinarsi agli angoli

PS: prima che questa discussione venga spostata o sbranata con strumenti pesanti... ho scelto questa sezione perchè si può risolvere in almeno due modi semplici ed elementari, quindi volevo evitare di vedere cose di questo tipo

[kobeilprofeta]

$n$ è in radianti?

[xXStephXx]

Sisi Sennò era impossibile xD

[axpgn]

Forse ci sono arrivato ...

Chiamiamo $x$ la parte decimale di $n/pi$, allora è sempre possibile trovare un intero $k$ tale per cui la parte decimale di $kx$ sia inferiore ad $x$; posso ripetere tale procedimento all'infinito e quindi con un opportuno $k$ avvicinarmi a zero quanto voglio; ma la parte decimale di $x$ è irrazionale è quindi lo sarà anche la parte decimale di $kx$ ed inoltre, come dimostrato precedentemente, per ogni $n$ la parte decimale di $n/pi$ è sempre differente e dato che questo rappresenta un angolo in radianti compreso tra $0

Ciao, Alex

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[xXStephXx]

Allora, sicuramente hai centrato che basta avvicinarsi a zero Però forse era la parte principale della dimostrazione quella. Cioè come dimostri che effettivamente puoi ridurre l'angolo? E anche una volta ridotto, non basta ridurlo genericamente, perchè ad esempio può essere che anche riducendolo infinite volte non ti avvicini a zero. Chessò.. metti che ogni volta ci sottrai una quantità pari a $1/3^k$... In quel caso ti fermi prima di avvicinarti a $0$.

Per sistemare questa parte avevo pensato a due strade:

L'angolo più che ridotto può essere proprio dimezzato! Se dimostri che lo puoi sempre dimezzare, ti avvicini a zero quanto vuoi

Oppure... prima o poi facendo variare $n$ ti capiteranno due angoli che si rappresentano con le prime tot cifre uguali giusto?
Ecco... da qui lo zero arriva subito xD

[axpgn]

Ciao Steph

Allora ... nel primo post sapevo già che non avevo dimostrato la tesi ma speravo che ti bastasse (ovviamente no ... )
In quest'altro invece pensavo d'avercela fatta ma appena postato mi sono accorto che ...

... avevo dimostrato solo che posso avvicinarmi a zero quanto voglio non all'angolo richiesto (perché dici di no? iterando la procedura ottengo angoli sempre minori del precedente, per via dell'irrazionalità non avrò mai un angolo uguale e quindi un blocco, ma sempre minore ...)

In merito a quanto dici ho pensato

al dimezzamento ma non mi è chiaro come fare ... (ho pensato alle formule di bisezione ma non ho approfondito perché mi sembrava una strada senza uscita ...).

Anche alla seconda che hai detto ho pensato ma ...

come fai a dire che lo zero arriva subito?

E cmq mi sono un po' perso ... ... dovrei ricominciare da capo con calma ...

[xXStephXx]

"axpgn":Ciao Steph
... avevo dimostrato solo che posso avvicinarmi a zero quanto voglio non all'angolo richiesto

Questo implica che ti avvicini pure all'angolo richiesto, visto che sommando più volte l'$n$ con cui ti avvicini a $0$, riesci ad avvicinarti a qualsiasi angolo con la stessa precisione.

"axpgn":
(perché dici di no? iterando la procedura ottengo angoli sempre minori del precedente, per via dell'irrazionalità non avrò mai un angolo uguale e quindi un blocco, ma sempre minore ...)

Riducendo una quantità infinite volte non è detto che ti avvicini a $0$.

Con la seconda strada se riesci a trovare $m$ ed $n$ che generano un angolo con le prime tot cifre uguali, allora $m-n$ genera un angolo vicino a zero

Il dimezzamento invece lo puoi fare per assurdo, tipo "se non riesco a dimezzare, allora vuol dire che non passo mai in questa regione, quindi nemmeno in questa e così via..." alla fine ottieni che non passi per nessun angolo della circonferenza goniometrica che è assurdo.

[axpgn]

"xXStephXx":... visto che sommando più volte l'$n$ con cui ti avvicini a $0$, riesci ad avvicinarti a qualsiasi angolo con la stessa precisione. ...

... e c'ho pure pensato, ma non me ne sono accorto ...

"xXStephXx":Riducendo una quantità infinite volte non è detto che ti avvicini a $0$.

Sì, anche questo l'avevo capito (ma solo dopo aver postato ... ).
E' "probabilissimo" che accada (anzi ne sono sicuro ... ) ma è necessario trovare una strada "sicura" per arrivarci prima o poi ...

Per quanto riguarda i due metodi, sono due strade che ho indagato (se così si può dire, dato che le cose mi vengono in mente in modo un po' caotico ... ) ma che non son riuscito a concludere; non ho però capito se hai trovato la procedura "esatta" o quelle sono le strade da seguire per trovarla ...

[xXStephXx]

"axpgn":non ho però capito se hai trovato la procedura "esatta" o quelle sono le strade da seguire per trovarla ...

Sono strade da seguire anche se con la seconda praticamente ho rivelato come si fa, a questo punto la completo lasciando aperta l'altra.

Vogliamo avvicinarci a $0$ con errore minore di $10^{-k}$. Vedo se trovo un $m$ ed un $n$ tali che il loro angolo in radianti, ovvero \(n \pmod {2\pi}\) abbiano le prime $k+1$ cifre uguali. I valori diversi che possono assumere le prime $k+1$ cifre sono $10^{k+1}$. Quindi prendendo $10^{k+1}+1$ interi diversi, ho la certezza che ce ne sono almeno due tali che il loro angolo in radianti ha le prime $k+1$ cifre uguali. Suppongo che questi interi siano $m$ ed $n$. Allora $m-n$ genera un angolo in radianti che ha le prime $k+1$ cifre nulle e quindi dista da $0$ meno di $10^{-k]$.