$sin \alpha, cos \alpha, tan \alpha, cot \alpha$

[Pachisi]

Esiste un angolo $\alpha \in (0,\pi/2)$ tale che $sin \alpha, cos \alpha, tan \alpha, cot \alpha$ siano quattro membri consecutivi di una progressione aritmetica, in qualsiasi ordine?

[@melia]

$pi/4$ è immediato

[Vincent46]

Non esiste. Dimostriamolo per assurdo.
Intanto notiamo che, sostituendo $\frac{\pi}{2}-\alpha$ ad $\alpha$, i termini della progressione si scambiano due a due. Perciò possiamo limitarci a far variare $\alpha$ in $(0, \frac{\pi}{4})$, estremi esclusi in quanto $\frac{\pi}{4}$ non va bene.
Ora, per $x$ appartenente a tale iintervallo, sussiste una e una sola delle seguenti catene di disuguaglianze:
$$\cot(x) > \tan(x) \geq \cos(x) > \sin(x) \ ,$$
oppure
$$\cot(x) > \cos (x) \geq \tan (x) > \sin(x) \ ,$$
quindi l'ordine della progressione aritmetica può variare fra questi due. In ogni caso deve valere
$$ \cot(x) - \tan (x) = \cos(x)-\sin(x) \ ,$$
vale a dire
$$\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(x)\sin(x)(\cos(x)-\sin(x)) \ .$$
Considerando l'intervallo di variazione della $x$, è lecito semplificare, ottenendo
$$ \cos(x)+\sin(x) = \cos(x)\sin(x) \, $$
assurdo in quanto il primo membro e il secondo membro sono, rispettivamente, maggiore e minore di $\cos(x)$.

[consec]

Proviamo a mano il caso $alpha=\pi/4$
Poiché l'unico angolo nell'intervallo $(0,\pi/2)$ in cui $sen(x)=cos(x)$ è $\pi/4$, allora la progressione deve essere strettamente crescente/decrescente.
Distinguiamo i casi $0 Primo caso:
Allora $cos(x)>sen(x)$, $ctg(x)>1>tg(x)$ e $sen(x) $tg(x)>cos(x) => sen(x)>(sqrt(5)-1)/2 =>arcsen((sqrt(5)-1)/2) Abbiamo due possibili combinazioni
1) $sen(x) 2) $sen(x) più altre due (le stesse lette al contrario in caso di successione decrescente, che si dimostrano allo stesso modo)
Notiamo che entrambe implicano che $cos(x)-sen(x)=ctg(x)-tg(x)$ => $sen(x)+ctg(x)=cos(x)+tg(x)$
La derivata del primo membro è $cos(x)-1/(sen^2(x))$ => $(cos(x)-cos^3(x)-1)/(sen^2(x))$ che è negativo per ogni $x$
Dunque la funzione $sen(x)+ctg(x)$ è decrescente in $(0,\pi/4)$ ed ha minimo in $x=\pi/4$ dove vale $sqrt(2)/2+1$
La derivata del secondo membro è $-sen(x)+1/(cos^2(x)) => (-sen(x)+sen^3(x)+1)/(cos^2(x))$ che è positivo per ogni $x$
Dunque la funzione $cos(x)+tg(x)$ è crescente in $(0,\pi/4)$ ed ha massimo in $x=\pi/4$ dove vale $sqrt(2)/2+1$
Dunque l'equazione è verificata solo in $x=\pi/4$.

Secondo caso:
allora $sen(x)>cos(x)$ $tg(x)>1>ctg(x)$ e $cos(x) $ctg(x)>sen(x) => cos(x)>(sqrt(5)-1)/2 => \pi/4 Abbiamo ancora due possibili combinazioni
1) $cos(x) 2) $cos(x) Entrambe implicano che $sen(x)-cos(x)=tg(x)-ctg(x)$ ossia $sen(x)+ctg(x)=cos(x)+tg(x)$ che ci fa ricondurre al caso precedente.

[Pachisi]

@ @melia: $\pi/4$ non funziona.
@ Vincent46: ok

[@melia]

"Pachisi":@ @melia: $\pi/4$ non funziona.

hai ragione, avevo letto proporzione, non progressione e mi sembrava pure un esercizio troppo semplice per i tuoi standard.