Sfida

[vicenzio20]

Chi riesce a risolvere l' equazione:

2+x-(1/2)x*ln{x}=0

Buona fortuna!

[Silente]

\(\displaystyle f(10)>0 \)
\(\displaystyle f(12)<0 \)

\(\displaystyle \phi _{NR}\left( x \right)=x-\frac{2+x-\frac{1}{2}x\ln x}{\frac{1}{2}\left( 1-\ln x \right)} \)
\(\displaystyle \phi _{NR}\left( x \right)=-2\frac{\left( 2+x \right)}{1-\ln x} \)

\(\displaystyle \phi _{NR}\left( 10 \right)=10,7479 \)
\(\displaystyle \phi _{NR}\left( 10.7479 \right)=10,7280 \)
\(\displaystyle \phi _{NR}\left( 10,7280 \right)=10,7280 \)

\(\displaystyle \xi =10,7280 \)

[gugo82]

Beh, facile... Conoscendo un po' di Calcolo e di funzioni speciali.

Innanzitutto, noto che la soluzione esiste, è positiva ed è unica.
Infatti la funzione:
\[
f(x) := 2+x-\frac{1}{2}\ x\ \log x
\]
è definita in \(]0,\infty[\), è di classe \(C^\infty\) ed ha:
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= \frac{1}{2}\ \left( 1 - \log x \right)\\
f^{\prime \prime} (x) &= - \frac{1}{2x}
\end{split}
\]
sicché \(f\) è strettamente concava in \(]0,\infty[\), prende massimo in \(x=e\), il massimo essendo \(f(e)=2+e/2\), e tende a \(2\) e \(-\infty\) quando \(x\to 0^+\) ed \(x\to \infty\) rispettivamente; conseguentemente, la funzione \(f\) ha un unico zero il quale cade nell'intervallo \(]e,\infty[\).
Dunque l'equazione assegnata ha unica soluzione positiva.

Per determinarla, posso usare qualche funzione speciale.
Introdotta la variabile ausiliaria \(y=\ln x\), l'equazione diventa:
\[
2+e^y-\frac{1}{2}\ y\ e^y =0
\]
ossia:
\[
4 = (y-2)\ e^y\; ;
\]
con un po' di algebra trovo:
\[
(y-2)\ e^{y-2} = \frac{4}{e^2}
\]
e ricordando la definizione della funzione \(W\) di Lambert:
\[
y-2 = \operatorname{W}\left( \frac{4}{e^2}\right)
\]
ossia:
\[
\log x = 2 + \operatorname{W}\left( \frac{4}{e^2}\right)\; ;
\]
da ciò ricavo infine:
\[
x= e^2\ \exp \left(\operatorname{W}\left( \frac{4}{e^2}\right)\right)\; ,
\]
che è l'espressione esatta (ancorché non elementare) della soluzione.

Inoltre, noto che non esiste alcuna espressione esplicita della soluzione in termini elementari.