Seven elves
Seven elves are sitting at a round table. Each elf has a cup. Some
cups are filled with some milk. Each elf in turn and clockwise divides
all his milk between six other cups. After the seventh has done this,
every cup was containing the initial amount of milk. How much milk did
every cup contain, if there was three litres of milk total?
PS
questo interessante problema è stato trattato, tempo fa, in un altro forum, di cui darò il riferimento al momento opportuno
cups are filled with some milk. Each elf in turn and clockwise divides
all his milk between six other cups. After the seventh has done this,
every cup was containing the initial amount of milk. How much milk did
every cup contain, if there was three litres of milk total?
PS
questo interessante problema è stato trattato, tempo fa, in un altro forum, di cui darò il riferimento al momento opportuno
Risposte
Contenuto in litri a partire dal primo 'samaritano':
la soluzione è immediatamente generalizzabile ad un numero qualsiasi di partecipanti.
la soluzione è immediatamente generalizzabile ad un numero qualsiasi di partecipanti.
Copioincollo da un post in un altro forum:
Indico con A,B, ..., F sia gli elfi che le quantita' di latte dei sette elfi all'inizio (e alla fine) del "gioco". Nelle righe indicate con 1,2, ..., 7 metto le quantita' di latte contenute nelle coppe dopo il corrispondente "giro". Dopo ogni "giro" l'elfo che distribuisce rimane a secco. Da questo deriva, in particolare, che l'elfo G alla fine e quindi all'inizio non ha latte nella sua coppa.
Dopo il settimo passaggio, le quantita sono quelle riportate nella riga 7. Come si nota F e' passato da 0 ad F. Questo vuol dire che F e' 1/6 di quanto aveva G prima del 7° giro, cioe (6,G)=6F. Di fatto ogni elfo da A ad F al settimo giro ha ricevuto una quantita' di latte pari ad F. Pertanto si puo' riempire la sesta riga come riportato nella seguente tabella. Con analogo ragionamento si ha che (5,F)=6(E-F) da cui si ricavano gli altri valori della 5 riga e cosi via ottenendo il quadro riportato sotto.
Si noti che il valore di F dopo, ad esempio, il V passaggio cioe' la casella (5,F) e' dato da
6(E-F)= F+A/6+(A-B)+(B-C)+(C-D)+(D-E)=F+A/6+(A-E).
Analogamente per le caselle della stessa diagonale (4,E), (3,D), (2,C) ed (1,B) si ha:
6(D-E)= E+A/6+(A-B)+(B-C)+(C-D)=E+A/6+(A-D);
6(C-D)= E+A/6+(A-B)+(B-C)= D+A/6+(A-C);
6(B-C)= C+A/6+(A-B)
6(A-B)= B+A/6
Risolvendo a ritroso, si ha che B=5/6A; C=2/3A; D=1/2A; E=1/3A; F=1/6A.
Da cui conoscendo la somma A+B+C+D+E+F+G=s si ricavano i singoli valori
Indico con A,B, ..., F sia gli elfi che le quantita' di latte dei sette elfi all'inizio (e alla fine) del "gioco". Nelle righe indicate con 1,2, ..., 7 metto le quantita' di latte contenute nelle coppe dopo il corrispondente "giro". Dopo ogni "giro" l'elfo che distribuisce rimane a secco. Da questo deriva, in particolare, che l'elfo G alla fine e quindi all'inizio non ha latte nella sua coppa.
Dopo il settimo passaggio, le quantita sono quelle riportate nella riga 7. Come si nota F e' passato da 0 ad F. Questo vuol dire che F e' 1/6 di quanto aveva G prima del 7° giro, cioe (6,G)=6F. Di fatto ogni elfo da A ad F al settimo giro ha ricevuto una quantita' di latte pari ad F. Pertanto si puo' riempire la sesta riga come riportato nella seguente tabella. Con analogo ragionamento si ha che (5,F)=6(E-F) da cui si ricavano gli altri valori della 5 riga e cosi via ottenendo il quadro riportato sotto.
Si noti che il valore di F dopo, ad esempio, il V passaggio cioe' la casella (5,F) e' dato da
6(E-F)= F+A/6+(A-B)+(B-C)+(C-D)+(D-E)=F+A/6+(A-E).
Analogamente per le caselle della stessa diagonale (4,E), (3,D), (2,C) ed (1,B) si ha:
6(D-E)= E+A/6+(A-B)+(B-C)+(C-D)=E+A/6+(A-D);
6(C-D)= E+A/6+(A-B)+(B-C)= D+A/6+(A-C);
6(B-C)= C+A/6+(A-B)
6(A-B)= B+A/6
Risolvendo a ritroso, si ha che B=5/6A; C=2/3A; D=1/2A; E=1/3A; F=1/6A.
Da cui conoscendo la somma A+B+C+D+E+F+G=s si ricavano i singoli valori
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