Sette numeri

[axpgn]

I sette numeri $a, b, c, d, e, f, g$ sono numeri reali non negativi la cui somma è pari a $1$.

Se $M$ è il massimo valore che possono assumere le cinque somme $a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g$, determinare il minimo possibile valore di $M$ al variare di $a, b, c, d, e, f, g$.


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

"axpgn":I sette numeri $a, b, c, d, e, f, g$ sono numeri reali non negativi la cui somma è pari a $1$.

Se $M$ è il massimo valore che possono assumere le cinque somme $a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g$, determinare il minimo possibile valore di $M$ al variare di $a, b, c, d, e, f, g$.


Cordialmente, Alex

Alex, temo ci sia un erroe nel testo del problema, perché posto come l'hai scritto la risposta sarebbe semplicemente $M$, giacché se definiamo prima $M$ essere il massimo valore che una certa somma possa assumere e poi ne chiadiamo il minimo, abbiamo che il minimo di un certo massimo che chiamiamo $M$ sia appunto $M$.

Ritengo pertanto che il problema che immagino tu avessi in mente potrebbe essere riformulato nel modo seguente.

"Posto che $a, b, c, d, e, f, g \in mathbb{R}^+$ siano tali che $a + b + c + d + e + f + g = 1$.
Definiamo $M$ essere il massimo valore che possono assumere le cinque somme $a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g$. Si determini dunque il minimo possibile valore, $m$, delle suddette cinque somme al variare di $a, b, c, d, e, f, g$ (nei reali positivi)."

Marco

[axpgn]

Mah ...

$M$ è il massimo di quei cinque valori, quelle cinque somme ... quello che si chiede è il minimo valore che può assumere $M$ ...

[giammaria2]

Indico con $m_1,m_2,...$ le cinque somme e poi faccio sottrazioni membro a membro. Ho
${(a+b+c=m_1),(b+c+d=m_2),(c+d+e=m_3),(d+e+f=m_4),(e+f+g=m_5):}->{(a+b+c=m_1),(d-a=m_2-m_1),(e-b=m_3-m_2),(f-c=m_4-m_3),(g-d=m_5-m_4):}->{(a+b+c=m_1),(d=a+m_2-m_1),(e=b+m_3-m_2),(f=c+m_4-m_3),(g=d+m_5-m_4):}$

Sommandole tutte membro a membro ottengo
$a+b+c+d+e+f+g=a+b+c+d+m_5$

Il primo membro vale 1 e si ha $a+b+c=m_1; d=a+m_2-m_1$, quindi
$1=m_1+a+m_2-m_1+m_5->1=a+m_2+m_5$

Sommando a questa la prima delle precedenti equazioni, ho
$1+a+b+c=a+m_2+m_5+m_1->1+b+c=m_1+m_2+m_5$

Il massimo di più numeri è sempre maggiore o uguale alla loro media, quindi
$Max(m_1,m_2,m_5)>=(m_1+m_2+m_5)/3=(1+b+c)/3>=1/3$
ed il valore minimo è $1/3$,ottenibile quando $b+c=0$ (e quindi $b=c=0$) e $m_1=m_2=m_5=1/3$
Ne segue
$M=Max(m_1,m_2,m_3,m_4,m_5)>=Max(1/3,m_3,m_4)>=1/3$
e si ha $M_("min")=1/3$ quando tutte le $m_k$ valgono $1/3$, cioè quando $b=c=e=f=0;a=d=g=1/3$

[axpgn]

Perfetto!

Soluzioni alternative:

- Dato che le tre quantità non negative $a+b+c, d+e+f, g$ sommano a $1$ non possono essere tutte e tre minori di $1/3$ e siccome $e+f+g>=g$ allora $M$ è almeno $1/3$.
Visto che la settupla $(a, b, c, d, e, f, g)=(1/3, 0, 0, 1/3, 0, 0, 1/3)$ ha $M=1/3$ allora $1/3$ è anche il minimo dei massimi.

- Nelle cinque somme $a$ e $g$ compaiono una volta sola, $b$ e $f$ due volte e $c, d$ e $e$ tre volte.
Aggiungiamo a questo insieme di cinque numeri questi altri quattro: $a$, $a+b$, $f+g$, $g$.
Adesso questo insieme di nove numeri contiene ogni variabile esattamente tre volte ma il massimo $M$ è sempre quello iniziale.
La somma di questi nove numeri è $3(a+b+c+d+e+f+g)=3$ che è maggiore o uguale alla loro media $3/9=1/3$ con l'uguaglianza solo se sono tutti uguali quindi il minimo $1/3$ occorre quando $a=a+b=a+b+c=b+c+d=c+d+e=d+e+f=e+f+g=f+g=g=1/3$

[ot]Non ho capito bene quale fosse l'osservazione di marcokrt[/ot]

[giammaria2]

Grazie mille. La prima soluzione alternativa mi piace molto per la sua semplicità.