Serie doppia

dan952
Calcolare $\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!}$

Risposte
Erasmus_First
"dan95":
Calcolare $\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!}$
Non mi pare che questo quesito sia a livello di scuole preuniversitarie.
Comunque:
a) Commutando le sommatorie si ha:
$\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!} = \sum_{k=2}^{infty}1/(k!)\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{k^n)=\sum_{k=2}^{infty}1/(k!)·1/(k(k-1))= sum_{k=0}^{infty}1/([(k+2)(k+1)]^2k!)$.
b) Fino ad ora ... non sono stato in grado di calcolare teoricamente l'ultima sommatoria.
c) Gli addendi calano molto in fretta di valore al crescere di k. Nell'ultima sommatoria che ho scvritto le prime 14 cifre significative non cambiano limitando il numero di addendi ai primi tredici (ossia sostituendo +∞ con un intero positivo maggiore di 11).
Con lìapplicazione "Grapher" per Apple trovo infatti:

_________


axpgn
Meglio sotto spoiler ... :wink:

Comunque, siccome dan95 ha chiesto di "calcolare" allora ieri ho calcolato che la risposta è ... :D



Cordialmente, Alex

Sk_Anonymous

dan952
@Erasmus
È pre-universitario

@Delirium
Non uccidere mosche con i cannoni

Sk_Anonymous
@dan: ho giocato troppo a Serious Sam.

giammaria2
"dan95":
@Erasmus
È pre-universitario

No, no e no! E' pre-universitario lo scambio delle sommatorie e l'ottenimento della formula scritta da Erasmus-First, ma il resto esula dai programmi delle superiori. Questi non contemplano neanche le serie, quindi è già discutibile che le si calcoli nel modo da lui indicato; fin lì si può fare eccezione ma assolutamente non oltre.

axpgn
Beh, ma avete ragione tutti e due: è pre-universitario ma post-superiori ... estivo insomma ... :-D :-D

totissimus

giammaria2
Bello il metodo di totissimus! E' pur sempre richiesto lo sviluppo in serie di $e$, ma forse qualche studente delle superiori lo conosce; considerando il risultato, non si può farne a meno.

dan952
@Totissimus
Bravo

@Giammaria

Dico pre universitario perché lo sviluppo di $e$ lo si vede con Taylor alle superiori.... di non pre universitario potrebbe esserci lo scambio delle due serie.

giammaria2
"dan95":
Dico pre universitario perché lo sviluppo di $e$ lo si vede con Taylor alle superiori....

Che scuola hai fatto? Nel liceo scientifico il programma non nomina le serie, men che meno quella di Taylor.
E' difficile che un alunno veda lo scambio fra le sommatorie (quasi mai usate) ma può pensarci, dato che è una conseguenza della proprietà commutativa dalla somma.

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