Sequenza di cifre

[axpgn]

Il primo termine è $c_1=2$ mentre il secondo è $c_2=3$

Poi si prosegue così:
Moltiplico il primo termine per il secondo $c_1*c_2=2*3=6$ quindi il terzo termine è $c_3=6$
Moltiplico il secondo termine per il terzo $c_2*c_3=3*6=18$ quindi il quarto termine è $c_4=1$ e il quinto termine è $c_5=8$
Moltiplico il terzo termine per il quarto $c_3*c_4=6*1=6$ quindi il sesto termine è $c_6=6$
Moltiplico il quarto termine per il quinto $c_4*c_5=1*8=8$ quindi il settimo termine è $c_7=8$
Moltiplico il quinto termine per il sesto $c_5*c_6=8*6=48$ quindi l'ottavo termine è $c_8=4$ e il nono è $c_9=8$

E cosi via ... $2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, ... $

Possiamo notare che la sequenza non ha fine, in quanto ad ogni moltiplicazione si avanza di un termine ma contemporaneamente ne vengono aggiunti uno o due.

Dimostrare che in questa sequenza, così costruita, non compaiono mai le cifre $5$, $7$ e $9$.


Cordialmente, Alex

[Erich1]

Ehm... questa è difficile per me, sono un paio di giorni che ci penso!

Basta dire/notare che la successione $c_i to 8$ per $i to oo$?
Ammesso che sia poi effettivamente così: intuitivamente la cifra $8$ compare sempre più spesso ed in proporzione maggiore rispetto alle altre cifre man mano che si va avanti nella successione

[€dit]: meglio aggiungere uno spoiler, giusto?

[Mathita]

"Erich":Ehm... questa è difficile per me, sono un paio di giorni che ci penso!

Basta dire/notare che la successione $c_i to 8$ per $i to oo$?
Ammesso che sia poi effettivamente così: intuitivamente la cifra $8$ compare sempre più spesso ed in proporzione maggiore rispetto alle altre cifre man mano che si va avanti nella successione

[€dit]: meglio aggiungere uno spoiler, giusto?

@ Erich

A intuito, non credo che la successione converga a 8. Se fissiamo $0<\varepsilon<1$ deve esistere $\nu\in\mathbb{N}$ tale che $|c_n-8|<\varepsilon$ per ogni $n>\nu$. Proprio perché la successione è formata da interi, la relazione $$|c_n-8|<\varepsilon<1 \ \ \ \forall n>\nu$$ sarebbe vera se e solo se $c_n=8 \ \ \ \forall n>\nu$. Nel momento in cui considero i termini $c_{n_0}, \ c_{n_0+1}$ con $n_0>\nu$, essi saranno entrambi uguali a 8 e il loro prodotto genererà 6 e 4 come elementi della successione, violando la definizione di limite.

Di fatto, ho notato anch'io che ci sono pezzi di stringa formati esclusivamente da 8, ma non mi aiuta a risolvere il problema .

[giammaria2]

Tutti i numeri della sequenza sono di una sola cifra, che può essere la prima o la seconda del prodotto fra due numeri precedenti, cioè la prima o la seconda dei soli numeri che compaiono nella tavola pitagorica (considerata fino a 9*9=81).
Inizialmente nella sequenza non ci sono i numeri 5, 7, 9 e quindi inizialmente possiamo cancellare le relative righe e colonne; osservando quello che resta, notiamo che queste cifre non compaiono mai e quindi quelle righe e colonne saranno sempre escluse.

Apro un altro problema, che però mi sembra irresolubile: nella sequenza c'è una regolarità (ad esempio la periodicità) che permetta di dire qual è l'ennesimo numero senza calcolare tutti i numeri precedenti?

[axpgn]

@giammaria
È una dimostrazione che non mi convince ...

Per prima cosa quell'avverbio ("inizialmente") mi suona un po' vago, andrebbe precisato meglio ...
Secondariamente, la dimostrazione è circolare ovvero "siccome non ci sono all'inizio, non ci saranno anche dopo" ma questo andrebbe provato tant'è che non è neppure vero: per esempio $3 xx 3$ genera il $9$

Per la regolarità, proverò a darci un'occhiata (se trovo il modo di costruirmi una sequenza lunga lunga senza fare fatica

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@Erich

Mathita ti ha mostrato che $8$ non è il limite e io aggiungo che quella sequenza non ce l'ha un limite
Ma non solo : anche assumendo che un limite esista, non servirebbe a nulla, in quanto ti mostrerebbe solo il comportamento in un intorno del punto limite mentre la richiesta è che non compaiano MAI in tutta la sequenza.

Bravo per lo spoiler

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Sono certo che la mia dimostrazione è troppo semplice e informale per essere corretta. Però ci provo.

Vado per osservazioni.

Osservazione 1.
Per costruzione ogni prodotto ha un risultato pari. La successione, infatti, al momento che compare un numero pari:
- o dà origine a un numero pari di una cifra;
- o dà origine a un numero pari di due cifre, ma in quel caso quando si arriverà a quei due termini sarà pur sempre uno pari e uno (la decina eventualmente) dispari.
Da questo deduco che alle unità non ci saranno più 5,7 e 9.

Osservazione 2.
I prodotti sono al massimo di 2 cifre proprio perché si considera come termine di una successione un termine di una cifra sola, quindi, al massimo, $9 \cdot 9 = 81$.

Osservazione 3.
Essendo $9 \cdot 9$ il prodotto più alto si può dedurre che il 9 non può capitare come cifra delle decine. Ma dall'osservazione 1 non capita nemmeno nelle unità quindi il 9 non capita (vedere anche osservazione 2).

Osservazione 4.
Il prodotto che dà il valore più alto, escluso il 9 dall'osservazione 3, resta $8\cdot 8 = 64 <70$ da cui si deduce che il 7 non capita alle decine ma, per l'osservazione 1, nemmeno alle unità.

Osservazione 5.
Manca da dimostrare una cosa analoga per il 5.
Per le osservazioni precedenti i tre prodotti con valore più alto sono $8\cdot 8= 64 > 59$, $6 \cdot 8 = 8 \cdot 6 = 48 <50$. Quindi il 5 non compare alle decine e, per l'osservazione 1, nemmeno alle unità.

Ammesso che sia giusto, penso che dimostrare una proprietà matematica in modo così brutto e poco matematico sia passabile da ban.

[axpgn]

@zero87
È quasi giusta (a mio parere)

È il primo punto che non mi convince (che poi è quello che conta).
Tu dici che "per costruzione" ogni prodotto è pari ma è un'affermazione apodittica cioè a priori non puoi esserne sicuro (vedi l'esempio $3 xx 3 = 9$, non lo puoi escludere a priori)
Sia tu che giammaria, a mio modesto parere, assumete per vero qualcosa che invece deve essere dimostrato ... IMHO
Comunque, siete sulla strada giusta ...

Cordialmente, Alex

[Mathita]

@Axpng

Avevo seguito la stessa strategia di Zero87. A essa ho aggiunto solo una postilla: ogni numero dispari della successione è preceduto e seguito da un numero pari. Nella peggiore delle ipotesi, può succedere che tre termini consecutivi della successione siano nella forma UDU (Unità, Decine, Unità- cifre dei prodotti di fattori precedenti) di questa tripletta solo D può essere dispari.

Edit: la parte più difficile di questo problema è la formalizzazione. Se dovessi scrivere un articolo, avrei diverse difficoltà nel formalizzare i ragionamenti.

[axpgn]

"Mathita":… la parte più difficile di questo problema è la formalizzazione. …

Manca il tassello fondamentale, quello che "tiene in piedi" i vostri ragionamenti …

[Erich1]

@Mathita: evidentemente mi sbagliavo
Algoritmicamente però penso di aver dimostrato due cose:

- in nessuna successione $c_i$ con $i in [1,5*10^7]$ compaiono $5$, $7$, o $9$;
- tanto più si va avanti nella successione tanto più l'$8$ è il risultato "dominante", nel senso che compare con una frequenza sempre maggiore; è il motivo per cui ho azzardato a dire che il limite è $8$; intuitivamente per numeri enormi si avrà ad un certo punto sempre $8$ come risultato, anche se in effetti è vero che prima o poi in teoria ricompariranno anche le altre cifre

"axpgn":
Per la regolarità, proverò a darci un'occhiata (se trovo il modo di costruirmi una sequenza lunga lunga senza fare fatica
Cordialmente, Alex

Qui ci sono quelli che dovrebbero essere i primi 50 miliardi di risultati:
https://drive.google.com/file/d/1fXhWuh ... sp=sharing
(occhio che è un file relativamente molto grande )

Fammi sapere se servono in altro formato o se serve un altro range di valori

[axpgn]

Grazie ma me ne sono bastati molti meno (un centinaio) per farmi un'idea

Il fatto è che le diverse "sequenze ripetitive di cifre" tendono ad allungarsi sempre più, distanziandosi al contempo maggiormente; per esempio partendo dalla sequenza $8, 4, 8$ otteniamo:
$3, 2, 3, 2$
$6, 6, 6$
$3, 6, 3, 6, 3, 6$
$1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8$
$8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8$
Come si può vedere, in "un attimo" si giunge ad una lunga sequenza di $8$, la quale però darà luogo ad una altrettanto lunga sequenza di $6, 4$.
Inoltre la variabilità è aumentata (garantita?) dall'inserimento (se così si può dire) di altri numeri prima e dopo queste lunghe sequenze.
Probabilmente i prodotti ottenibili non sono molti ma lo studio dei possibili incastri e quindi di un'eventuale loro prevedibilità lo vedo un po' lunghetto

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@ axpgn
Mi era proprio sfuggito il $3*3=9$. che manda all'aria la mia dimostrazione. Discordo un po' con l'altra osservazione; secondo me, il mio discorso era giusto (bé, a parte quell'errore) anche se effettivamente sarebbe stato meglio esporlo con altre parole.
Idem per la dimostrazione di Zero87, che non ha errori; credo che lui stesso ne manderà un'altra versione, ma il concetto non cambia.

[Zero87]

"giammaria":Idem per la dimostrazione di Zero87, che non ha errori; credo che lui stesso ne manderà un'altra versione, ma il concetto non cambia.

Sto pensando da un po' a come formalizzarla o migliorarla ma sono in alto mare...

[axpgn]

"giammaria":... il mio discorso era giusto (bé, a parte quell'errore) anche se effettivamente sarebbe stato meglio esporlo con altre parole.
Idem per la dimostrazione di Zero87, che non ha errori; credo che lui stesso ne manderà un'altra versione, ma il concetto non cambia.

A mio parere, non è così, provo a dimostrarvelo postando la mia soluzione ...

Il punto focale consiste nel fatto che in questa sequenza non possono esserci due cifre dispari consecutive.
Perché?
Possiamo ottenere due cifre dispari consecutive in tre modi:
- come risultato della moltiplicazione di due cifre dispari consecutive che producano un numero di due cifre
- come risultato della moltiplicazione di due cifre dispari consecutive che producano un numero di una sola cifra posposto all'ultima cifra dispari della sequenza
- come cifra delle decine (del risultato della moltiplicazione che produca un numero di due cifre) posposto all'ultima cifra dispari della sequenza.
In tutti e tre i casi , affinché accada questo, devono esserci altre due cifre dispari consecutive nella sequenza, precedenti a quest'ultima coppia.
Ma per generare la penultima coppia, deve essercene un'altra prima, e poi ancor prima un'altra e così via.
Questo ci porta a considerare le prime tre cifre ovvero le prime due coppie; questo perché le prime due coppie non sono state costruite con queste regole ma fissate a priori.
Verificato che anch'esse non sono coppie "dispari", l'assunto è provato.
Da ciò ne discende che la cifra delle unità dei prodotti non può essere dispari (e quindi neppure $5, 7$ e $9$).
La cifra $9$ non può essere la cifra delle decine di un prodotto di due sole cifre. E quindi è esclusa del tutto.
La cifra $7$ compare solo in $72$ ma dato che è $72=9 xx 8$ e nove non ce ne sono, non ci saranno neppure i sette.
Infine il $5$ compare in $54$ e $56$ ma dato che $54=9 xx 6$ e $56=7 xx 8$ anche il $5$ non c'è.

CVD.

La differenza tra questo ragionamento e gli altri sta nel fatto che io ho ragionato "a ritroso" invece che "in avanti"; è un po' come se aveste applicato l'induzione ma senza dimostrare il "passo base".
Difatti ti è sfuggito il $3 xx 3 = 9$, tu dici "Sì, vabbè, ma eliminato quello, funziona" ... eh, no, chi ti garantisce che non ci sia una situazione simile ma difficile da trovare più avanti? Invece come ho fatto io, siamo sicuri. Isn't it?

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Dicevo che il concetto non cambia e lo faccio vedere mandando la mia soluzione riveduta e corretta. In sostanza differisce poco dalla tua; è solo un po' più breve.

Articolo la soluzione in due punti, che dimostro entrambi per induzione completa; il primo punto mi è stato ispirato dalla risposta di Zero87 ed è anche quello che citi nella tua ultima mail. Entrambi i punti iniziano con la frase (che scrivo solo qui) "L'affermazione è verificata fino a $c_2$; dimostro che se è verificata fino a $c_(n-1)$ lo è anche per $c_n$"

Punto 1: non ci sono due dispari consecutivi.
Infatti allora il prodotto da cui deduco $c_n$ (e l'eventuale $c_(n+1)$) dà risultato pari; la cifra delle decine può essere dispari, ma risulta scritta fra due cifre delle unità, entrambe pari.

Punto 2: non ci sono i numeri 5, 7, 9.
Infatti allora il prodotto di cui sopra è uno di quelli della tavola pitagorica, con l'esclusione delle righe e colonne 5, 7, 9. Per il punto 1, vanno anche esclusi i multipli dispari di 1, 3: in quello che resta non compaiono le cifre incriminate, che quindi non possono essere $c_n$.