Scuola Superiore di Catania (1)
Un polinomio $p(x)$ non identicamente nullo soddisfa la relazione $p(p(x)) = p(2x+1) + p(2x+3)$.
Calcolare il valore di $p(5)$.
Ho tentato di risolverlo provando diverse strade, ma nessuna di queste mi convince. In particolare, non capisco come imporre la condizione di "non identicamente nullo".
Calcolare il valore di $p(5)$.
Ho tentato di risolverlo provando diverse strade, ma nessuna di queste mi convince. In particolare, non capisco come imporre la condizione di "non identicamente nullo".
Risposte
Quella condizione ti serve proprio per escludere che si abbia $p(x)=0$, che se ci fai caso soddisfa la relazione.
Comunque se fossi in te farei delle considerazioni sui gradi del primo e del secondo membro della relazione che hai scritto...
Comunque se fossi in te farei delle considerazioni sui gradi del primo e del secondo membro della relazione che hai scritto...
Scusami, ma non ti seguo.
È la prima volta che leggo l'espressione "non identicamente nullo", che, se non ho capito male, significa che per $AA x$ il polinomio $p(x)$ è sempre diverso da zero. Come faccio, quindi, a escludere il caso $p(x) = 0$, senza tra l'altro conoscere l'entità del polinomio?
Inoltre, mi consigli di fare alcune considerazioni sul grado del primo e del secondo membro della relazione. Anche qui non so come muovermi: non conosco il grado del polinomio $p(x)$ e ciò non mi permette di sapere con certezza che, ad esempio, entrambi i membri siano di primo grado.
È la prima volta che leggo l'espressione "non identicamente nullo", che, se non ho capito male, significa che per $AA x$ il polinomio $p(x)$ è sempre diverso da zero. Come faccio, quindi, a escludere il caso $p(x) = 0$, senza tra l'altro conoscere l'entità del polinomio?
Inoltre, mi consigli di fare alcune considerazioni sul grado del primo e del secondo membro della relazione. Anche qui non so come muovermi: non conosco il grado del polinomio $p(x)$ e ciò non mi permette di sapere con certezza che, ad esempio, entrambi i membri siano di primo grado.
Non identicamente nullo significa che il polinomio non assume sempre valore $0$. Può assumerlo in alcuni punti, ma non in tutti.
Per il grado, cerca di esprimere i gradi di primo e secondo membro in funzione del grado di $p(x)$
Per il grado, cerca di esprimere i gradi di primo e secondo membro in funzione del grado di $p(x)$
Ecco, capivo male...
Se il grado di $p(x)$ è $n$, allora il grado del primo membro sarà $n^n$, mentre il grado del secondo sarà $n$. E questo dovrebbe aiutarmi a capire che...?
L'unica cosa che mi viene in mente è che $n$ dovrebbe essere relativamente piccolo, altrimenti la relazione non potrebbe più essere soddisfatta. Il primo membro può "crescere" molto più rapidamente del secondo, insomma.
Se il grado di $p(x)$ è $n$, allora il grado del primo membro sarà $n^n$, mentre il grado del secondo sarà $n$. E questo dovrebbe aiutarmi a capire che...?
L'unica cosa che mi viene in mente è che $n$ dovrebbe essere relativamente piccolo, altrimenti la relazione non potrebbe più essere soddisfatta. Il primo membro può "crescere" molto più rapidamente del secondo, insomma.
Beh,non proprio:
volendo $n^n$ può mantenersi costantemente uguale ad $n$,e mi sà che c'è un sol modo
(per te risolutivo,anche grazie al principio d'identità dei polinomi..)
affinché ciò accada
..
Saluti dal web.
P.S.Un motto che mi piace è "Tanti parametri tante condizioni sparametrizzanti,
da dedurre da quanto implicitamente ed esplicitamente richiesto dal problema";
spesso è decisivo,se unito ad una scelta lungimirante dei parametri in questione
(nel tuo caso termine noto e coefficiente del termine lineare..):
in quest'ultima a volte rientra l'Esperienza,altre il lateral thinking e,più spesso,
una loro equilibrata combinazione.
volendo $n^n$ può mantenersi costantemente uguale ad $n$,e mi sà che c'è un sol modo
(per te risolutivo,anche grazie al principio d'identità dei polinomi..)
affinché ciò accada
..Saluti dal web.
P.S.Un motto che mi piace è "Tanti parametri tante condizioni sparametrizzanti,
da dedurre da quanto implicitamente ed esplicitamente richiesto dal problema";
spesso è decisivo,se unito ad una scelta lungimirante dei parametri in questione
(nel tuo caso termine noto e coefficiente del termine lineare..):
in quest'ultima a volte rientra l'Esperienza,altre il lateral thinking e,più spesso,
una loro equilibrata combinazione.
Veramente a me sembra che il grado del primo membro sia $n^2$
Vediamo se ho capito.
L'unico modo affinché i gradi del primo membro e del secondo membro siano uguali, è che $n = 1$. Quindi, $p(x) = ax +b$.
Sostituendo alla relazione, ottengo $a(ax + b) + b = a(2x + 1) + b + a(2x + 3) + b$.
Svolgo gli opportuni calcoli e giungo a $a^2x + b(a + 1) = 4ax + 4a + 2b$.
I due polinomi, uno al primo membro l'altro al secondo, sono uguali se e solo se i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali. Per il principio di identità dei polinomi allora:
$\{(a^2 = 4a),(b(a + 1) = 4a + 2b):}$ $\{(a = 4),(b = 16/3):}$
Ho escluso le soluzioni $a =0$ e $b = 0$, perché il polinomio è, per ipotesi, non identicamente nullo.
Adesso che conosco il polinomio $p(x) = 4x + 16/3$, posso calcolare $p(5) = 76/3$.
Comunque grazie mille per i consigli!
L'unico modo affinché i gradi del primo membro e del secondo membro siano uguali, è che $n = 1$. Quindi, $p(x) = ax +b$.
Sostituendo alla relazione, ottengo $a(ax + b) + b = a(2x + 1) + b + a(2x + 3) + b$.
Svolgo gli opportuni calcoli e giungo a $a^2x + b(a + 1) = 4ax + 4a + 2b$.
I due polinomi, uno al primo membro l'altro al secondo, sono uguali se e solo se i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali. Per il principio di identità dei polinomi allora:
$\{(a^2 = 4a),(b(a + 1) = 4a + 2b):}$ $\{(a = 4),(b = 16/3):}$
Ho escluso le soluzioni $a =0$ e $b = 0$, perché il polinomio è, per ipotesi, non identicamente nullo.
Adesso che conosco il polinomio $p(x) = 4x + 16/3$, posso calcolare $p(5) = 76/3$.
Comunque grazie mille per i consigli!
@Milizia.
Hai ovviamente ragione,
ma il punto è che avevo fretta e mi son fermato al post di Vincenzo precedente al mio e non a quello originario:
d'altronde, ho pensato, non c'era bisogno di tornare ad esso, perché se anche le composizioni fossero state solo due,
e non tante quanto il grado di $P$ come avevo dedotto essere
(anche perché mi sembrava ancora più interessante questo caso..),
tecnica dimostrativa e conclusioni sarebbero rimaste analoghe.
Saluti dal web.
Hai ovviamente ragione,
ma il punto è che avevo fretta e mi son fermato al post di Vincenzo precedente al mio e non a quello originario:
d'altronde, ho pensato, non c'era bisogno di tornare ad esso, perché se anche le composizioni fossero state solo due,
e non tante quanto il grado di $P$ come avevo dedotto essere
(anche perché mi sembrava ancora più interessante questo caso..),
tecnica dimostrativa e conclusioni sarebbero rimaste analoghe.
Saluti dal web.
Perdonatemi, con $n^n$ volevo dire $n^2$... Non c'è peggior cieco di chi non vuol vedere! 
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