Scopri l'errore!
Scoprire l'errore nella "dimostrazione" del seguente "teorema".
Proviamo che l'insieme dei numeri naturali privato dello zero \(\mathbb{N}_0\) ha massimo e che tale massimo è \(1\).
Dim.: Per assurdo, supponiamo che esista un numero \(n\in \mathbb{N}_0\) maggiore di \(1\) che sia il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Si ha evidentemente \(n^2>n\) con \(n^2\in \mathbb{N}_0\). Ma ciò è assurdo, perché \( n\) è il massimo di \(\mathbb{N}_0\) e dunque non può esserci alcun numero strettamente maggiore di \(n\) in \(\mathbb{N}_0\).
Di conseguenza, \(1\) è il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Risposte
"gugo82":
Scoprire l'errore nella "dimostrazione" del seguente "teorema".
Proviamo che l'insieme dei numeri naturali privato dello zero \(\mathbb{N}_0\) ha massimo e che tale massimo è \(1\).
Dim.: Per assurdo, supponiamo che esista un numero \(n\in \mathbb{N}_0\) maggiore di \(1\) che sia il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Si ha evidentemente \(n^2>n\) con \(n^2\in \mathbb{N}_0\). Ma ciò è assurdo, perché \( n\) è il massimo di \(\mathbb{N}_0\) e dunque non può esserci alcun numero strettamente maggiore di \(n\) in \(\mathbb{N}_0\).
Di conseguenza, \(1\) è il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Posso dire due cose che ora mi vengono in mente: si può usare il principio dell' Archidemeità?
Oppure mi salta in mente che se questa dimostrazione è vera allora può essere vera una qualsiasi dimostrazione in cui prendo per assurdo un $m>n$ quindi poiché qualsiasi proposizione può essere vera o esistono tutti massimi (assurdo) oppure $NN_0$ non ha massimo.
Infine un'ultima considerazione che faccio. Credo che non ti è lecito nella dimostrazione dire che $n^2 \in NN_0$ .
Per assurdo stiamo supponendo che ci sia il massimo.... di conseguenza tale massimo non può esistere. Quindi cade anche la dimostrazione che il massimo sia 1
Esatto.
L'errore è a monte della dimostrazione e non nella dimostrazione stessa: in particolare, l'errore sta nell'aver tacitamente assunto tra le ipotesi che esista il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Che ciò non sia vero è stato ricordato più volte su questo forum nei giorni scorsi: infatti se \(n\in \mathbb{N}_0\) fosse davvero il massimo di \(\mathbb{N}_0\), allora dovrebbe aversi anche \(2n=n+n\leq n\), ossia \(n=0\), contro il fatto che \(n\geq 1\).
Morale generale: quando si parla di massimi (e minimi, ovviamente), bisogna sempre accertarsi (cioè dimostrare) che essi esistano prima di cercare di identificarli.*
@ Ariz93: Ma come non è lecito dire che \(n\in \mathbb{N}_0\) allora \(n^2\in \mathbb{N}_0\)?
Dato che \(n^2=n\cdot n\), che \(n\in \mathbb{N}_0\) e che \(\mathbb{N}_0\) è chiuso rispetto alla moltiplicazione, è evidente che \(n^2\in \mathbb{N}_0\).
__________
* Questo di cercare di identificare un minimo/massimo prima di averne dimostrato l'esistenza è un errore fatto da parecchi matematici nei tempi passati. Basti pensare a Steiner, come ricordavo qui a pagina 18 e seguente (in particolare, nella nota 12 a pié di pagina 19).
L'errore è a monte della dimostrazione e non nella dimostrazione stessa: in particolare, l'errore sta nell'aver tacitamente assunto tra le ipotesi che esista il massimo di \(\mathbb{N}_0\).
Che ciò non sia vero è stato ricordato più volte su questo forum nei giorni scorsi: infatti se \(n\in \mathbb{N}_0\) fosse davvero il massimo di \(\mathbb{N}_0\), allora dovrebbe aversi anche \(2n=n+n\leq n\), ossia \(n=0\), contro il fatto che \(n\geq 1\).
Morale generale: quando si parla di massimi (e minimi, ovviamente), bisogna sempre accertarsi (cioè dimostrare) che essi esistano prima di cercare di identificarli.*
@ Ariz93: Ma come non è lecito dire che \(n\in \mathbb{N}_0\) allora \(n^2\in \mathbb{N}_0\)?
Dato che \(n^2=n\cdot n\), che \(n\in \mathbb{N}_0\) e che \(\mathbb{N}_0\) è chiuso rispetto alla moltiplicazione, è evidente che \(n^2\in \mathbb{N}_0\).
__________
* Questo di cercare di identificare un minimo/massimo prima di averne dimostrato l'esistenza è un errore fatto da parecchi matematici nei tempi passati. Basti pensare a Steiner, come ricordavo qui a pagina 18 e seguente (in particolare, nella nota 12 a pié di pagina 19).
"gugo82":
Esatto.
L'errore è a monte della dimostrazione e non nella dimostrazione stessa
Penso questo l'abbia esplicitato bene delirium,il processo logico si componeva di un assurdo che non si era considerato nella dimostrazione e cioè $NN_0 $ non ha massimo.
"gugo82":
@ Ariz93: Ma come non è lecito dire che \(n\in \mathbb{N}_0\) allora \(n^2\in \mathbb{N}_0\)?
Dato che \(n^2=n\cdot n\), che \(n\in \mathbb{N}_0\) e che \(\mathbb{N}_0\) è chiuso rispetto alla moltiplicazione, è evidente che \(n^2\in \mathbb{N}_0\).
Tutto chiaro a volte mi perdo in un bicchiere d'acqua.
Calcoliamo l'integrale indefinito:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x
\]
per parti, cioè sfruttando la formula:
\[
\int f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x = f(x)\ g(x) - \int f^\prime (x)\ g (x)\ \text{d} x\; .
\]
Dato che:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x = \int \frac{1}{x}\ 1\ \text{d} x
\]
possiamo prendere \(f(x)=1/x\) e \(g^\prime (x)=1\), cosicché \(g(x)=x\), e scrivere:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x = \frac{1}{x}\ x - \int \frac{-1}{x^2}\ x\ \text{d} x
\]
ossia, fatte le opportune semplificazioni:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x = 1 + \int \frac{1}{x}\ \text{d} x
\]
da cui ricaviamo:
\[
0=1\; ,
\]
ma ciò è assurdo... Com'è possibile?
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x
\]
per parti, cioè sfruttando la formula:
\[
\int f(x)\ g^\prime (x)\ \text{d} x = f(x)\ g(x) - \int f^\prime (x)\ g (x)\ \text{d} x\; .
\]
Dato che:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x = \int \frac{1}{x}\ 1\ \text{d} x
\]
possiamo prendere \(f(x)=1/x\) e \(g^\prime (x)=1\), cosicché \(g(x)=x\), e scrivere:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x = \frac{1}{x}\ x - \int \frac{-1}{x^2}\ x\ \text{d} x
\]
ossia, fatte le opportune semplificazioni:
\[
\int \frac{1}{x}\ \text{d} x = 1 + \int \frac{1}{x}\ \text{d} x
\]
da cui ricaviamo:
\[
0=1\; ,
\]
ma ciò è assurdo... Com'è possibile?
[size=80]EDIT. Credo di aver preso un abbaglio, mi sono autocensurato. 
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@Zero87: 
No, dai, stai scherzando
No, dai, stai scherzando
@James.
Mi sà che il baco è un pò più "elementare"..
@Gugo.
Grande:
non potevi pensare di meglio
(lo sò,son diventato monotono con questa storia..ma che posso farci,
se il tuo destino didattico è scritto nei dati
?),
per evidenziare in modo "facilmente" comprensibile come non bisogna mai perdere di vista che un integrale indefinito è una famiglia di funzioni..
Sono proprio curioso,per gli anni a venire:
sai che,credo due anni fà,il miglior insegnante d'Italia è stato considerato un precario con un dottorato appena concluso
?
Saluti dal web.
Mi sà che il baco è un pò più "elementare"..
@Gugo.
Grande:
non potevi pensare di meglio
(lo sò,son diventato monotono con questa storia..ma che posso farci,
se il tuo destino didattico è scritto nei dati
?),per evidenziare in modo "facilmente" comprensibile come non bisogna mai perdere di vista che un integrale indefinito è una famiglia di funzioni..
Sono proprio curioso,per gli anni a venire:
sai che,credo due anni fà,il miglior insegnante d'Italia è stato considerato un precario con un dottorato appena concluso
?Saluti dal web.
O diamine mi sto scervellando l'unica cosa che mi viene in mente è che non puoi semplificare due integrali...ma come porre che una combinazione lineare delle costanti che escono fuori dall'integrale faccia -1??? (Gugo ti odio xD)
"Ariz93":
O diamine mi sto scervellando l'unica cosa che mi viene in mente è che non puoi semplificare due integrali...ma come porre che una combinazione lineare delle costanti che escono fuori dall'integrale faccia -1??? (Gugo ti odio xD)
Leggi bene quello che ha scritto theras...
"Delirium":
Leggi bene quello che ha scritto theras...
Si è un problema di primitive infatti se sottraggo a destra e sinistra...credo di esserci arrivato!
Well:
In una famiglia di primitive ognuna differisce dalle altre a meno di una costante per cui:
$\int \frac{1}{x}dx= 1+ \int \frac{1}{x}dx $ porto l'elemento del primo membro al secondo e ottengo:
$\int \frac{1}{x}-\frac{1}{x}dx=1$
Sia la differenza tra le primitive la costante A ottengo :
$\int 0 dx= A=1$
Io, da ignorante, penso che l'errore stia all'inizio quando si dice che esiate un massimo, che sia $n$ o che sia $1$, io credo che l'errore sia dire che esista un massimo.
Però mi rendo conto che probabilmente sono io che non ho capito il senso perche cosí mi sembra banale
Però mi rendo conto che probabilmente sono io che non ho capito il senso perche cosí mi sembra banale
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