Risoluzione di un equazione con esponenziali
Ciao a tutti, non so da dove sia tratta, ma bisogna certamente scervellarsi un po'....
Si tratta di risolvere
\( (\sqrt{3})^x=x^\sqrt{3}\)
Una soluzione è ovvia... ma ce n'è un'altra...
Come trovarla? (In maniera esatta, non numerica...)
Si tratta di risolvere
\( (\sqrt{3})^x=x^\sqrt{3}\)
Una soluzione è ovvia... ma ce n'è un'altra...
Come trovarla? (In maniera esatta, non numerica...)
Risposte
"axpgn":
Si, è quella.... Ma come l'hai dedotta/trovata?
Eh, a intuito ... e poi ho dimostrato che fosse proprio quella ... non saprei di preciso ma penso che non esistano metodi "scolastici" per la risoluzione ...
Trasformo l'equazione in: $x log( \sqrt{3}) = \sqrt{3} ln(x)$
Studiando questa funzione, deduco che le soluzioni sono solo 2(una è $\sqrt{3}$, e l'altra è ancora ignota).
Ora, data l'equazione, è facile supporre che la soluzione è una potenza di 3; poichè è un'equazione piena di radicali quadratici, è facile supporre che sarà una potenza con un radicale quadratico.
Pongo quindi $x=3^{y/2}$, da cui: $3y^2=3^y$, ossia: $y^2 = 3^{y-1}$
Dato che la y che cerco è unica, posso restringere la ricerca alle y naturali.
Nei naturali si trovano subito $y=1$ (ossia $x=\sqrt{3}$) e $y=3$ (ossia $x = 3 * \sqrt{3}$)
Studiando questa funzione, deduco che le soluzioni sono solo 2(una è $\sqrt{3}$, e l'altra è ancora ignota).
Ora, data l'equazione, è facile supporre che la soluzione è una potenza di 3; poichè è un'equazione piena di radicali quadratici, è facile supporre che sarà una potenza con un radicale quadratico.
Pongo quindi $x=3^{y/2}$, da cui: $3y^2=3^y$, ossia: $y^2 = 3^{y-1}$
Dato che la y che cerco è unica, posso restringere la ricerca alle y naturali.
Nei naturali si trovano subito $y=1$ (ossia $x=\sqrt{3}$) e $y=3$ (ossia $x = 3 * \sqrt{3}$)
Simpatico quesito! Mi permetto un rilancio.
L'equazione $ x^y=y^x $ con $ x ne y $ ha [strike]una sola soluzione intera[/strike] due sole coppie di soluzioni intere: $ {x, y}={2,4} $ e.... Esistono, invece, infinite soluzioni razionali; quali possono essere?
Ciao
L'equazione $ x^y=y^x $ con $ x ne y $ ha [strike]una sola soluzione intera[/strike] due sole coppie di soluzioni intere: $ {x, y}={2,4} $ e.... Esistono, invece, infinite soluzioni razionali; quali possono essere?
Ciao
___
Certo Alex, i puntini di sospensione stanno al posto dell'altra soluzione a valori interi che hai trovato. Ho dovuto editare il messaggio, perché inizialmente non ci avevo pensato. Per le soluzioni razionali è ottima la soluzione di Erasmus_First, che considera, però solo le soluzioni positive.
Ciao
Ciao
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