Relazioni tra due numeri

[kilikion1]

Premetto che sono nuovo a questo genere di cose - fino ad ora la mia matematica si è limitata ad una banale e meccanica risoluzione dell'esercizio assegnato - quindi, anche se il problema vi sembrerà dannatamente semplice, vi pregerei di indicarmi solo la via verso cui procedere e non l'intero, per dir così, percorso.

Ad ogni buon conto, l'esercizio è il seguente :

Dati due numeri reali positivi, dimostra che

Se $$x+y=1$$, allora $$(\frac 1x +1)(\frac 1 y +1)\ge 9$$

Io pensavo prima di "manipolare" un po' l'espressione $$(\frac 1x +1)(\frac 1 y +1)$$ sfruttando magari la relazione $$x+y=1$$ e poi ragionare sul fatto che siano entrambi numeri positivi.

Il problema, però, è che non mi riesco mai a liberare del termine $$xy$$.

[giammaria2]

Un metodo possibile è sfruttare la proprietà "Se due numeri hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali". Ti do la dimostrazione di questa proprietà, lasciando a te il vedere come usarla.
Sia $a+b=k$; possiamo dire che
${(a=k/2+x),(b=k/2-x):}->ab=k^2/4-x^2$
e quindi $ab$ diminuisce al crescere di $x^2$: il valore massimo si ha per $x=0->a=b$

[kilikion1]

In tal caso l'esercizio diventa estremante più semplice.
$(1+1/x)(1+1/y)$

$((x+1)(y+1))/(xy)$

$(xy+x+y+1)/(xy)$

$(xy+2)/(xy)$

$1+2/(xy)$

Allora posso scrivere

$1/(xy)>=4$

Essendo xy il prodotto di due numeri positivi

$4xy<= 1$

Dalla proprietà da te dimostrata risulta che $x=1/2$ e $y=1/2$

Quindi

$1<=1 $

Io però non vedo altre strade, se non davvero complesse. Era forse uno di quegli esercizi per il quale ricordarsi una proprietà era fondamentale, altrimenti i tempi di risoluzione diventavano improponibili ?

[giammaria2]

Così sui due piedi, neanche io vedo altre strade; è però probabile che esistano. Sono molti gli esercizi che si risolvono facilmente con questa proprietà o altre simili.

[laura1232]

Si potrebbe provare anche così:
iniziamo osservando che da $x>0$ e $y>0$ e da $x+y=1$ segue che $0 $(2x-1)^2>=0\ \rightarrow\ 4x^2-4x+1>=0 \ \rightarrow\ -8x^2+8x-2<=0\ \rightarrow\ x^2-x-2-9x^2+9x<=0$
$\rightarrow\ x^2-x-2<=9x^2-9x\ \rightarrow\ (x+1)(x-2)<=9x(x-1)$
da $0 $\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-1)}>=9 \ \rightarrow\ \frac{x+1}{x}\cdot\frac{x-2}{x-1}>=9\ \rightarrow\ (1+1/x)\cdot(1-1/{x-1})>=9$
$(1/x+1)\cdot(1+1/{1-x})>=9$ da $1-x=y$ si ha $(1/x +1)\cdot(1/y+1)>=9$.

[kilikion1]

Grazie Laura ! Il tuo metodo è senza dubbio corretto.
Posso tuttavia chiederti che cosa ti ha spinto a partire da
$(2x-1)^2>=0 $

[gugo82]

Supponiamo \(x+y=1\) con \(x,y>0\).
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica si trova:
\[
\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} = \frac{1}{2}
\]
dunque \(xy\leq \frac{1}{4}\).
Con un po' di Algebra:
\[
\begin{split}
&4xy \leq 1 \\
\Leftrightarrow \quad &8xy \leq 2=1+(x+y) \\
\Leftrightarrow \quad &9xy \leq 1+x+y+xy \\
\Leftrightarrow \quad &9xy \leq (x+1)\ (y+1) \\
\Leftrightarrow \quad &9 \leq \left( 1+\frac{1}{x}\right)\ \left( 1+\frac{1}{y}\right)
\end{split}
\]
che è quanto volevi.
In più, vale l'uguaglianza nella disuguaglianza da provare se e solo se essa vale nella disuguaglianza tra medie, ergo se e solo se \(x=y=\frac{1}{2}\).

[kilikion1]

Certo che in questo forum siete tutti così straordinariamente bravi e cortesi ...
Ti ringrazio infinitamente della risposta e di avermi fatto conoscere la disuguaglianza tra medie.

[gugo82]

Prego, figurati.

In realtà, vale una disuguaglianza più generale, che è la seguente.
Per \(x,y>0\) si pone:
\[
\mathcal{M}_p(x,y) := \begin{cases} \left( \frac{x^p+y^p}{2}\right)^{1/p} &\text{, se } p\neq 0,\pm \infty \\
\sqrt{x,y} &\text{, se } p=0 \\
\min \{ x,y\} &\text{, se } p=-\infty \\
\max \{ x,y\} &\text{, se } p=+\infty \; ,\end{cases}
\]
e la quantità \(\mathcal{M}_p(x,y)\) si chiama \(p\)-media di \(x\) ed \(y\); allora vale il seguente fatto:

Comunque si scelgano \(p \[\tag{pMqM}
\mathcal{M}_p(x,y) \leq \mathcal{M}_q(x,y)
\]
per ogni \(x,y>0\); inoltre, in (pMqM) vale l'uguaglianza se e solo se \(x=y\).

che va sotto il nome di disuguaglianza tra medie generalizzata. In particolare, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica si ritrova prendendo \(p=0\) e \(q=1\).