Rad(x)

[Il Pitagorico]

Ciao a tutti,
non so quanti di voi conoscono la congettura abc (per chi non la conoscesse veda un attimo su wikipedia), all'interno di questa congettura si fa uso di rad(x). Se si prende un numero e lo si scompone in fattori primi rad(x) equivale al prodotto dei primi che lo compongono senza considerare gli esponenti, per esempio rad(24)= rad( $ 2^2*3 $ ) = $ 2 * 3 $ = 6, mentre invece rad(14)= rad( $ 2*7 $ ) = $ 2*7 $= 14. La mia domanda è questa, quanti numeri possono esserci uno successivo all'altro tali che rad(x)=x, rad(x)=x, rad(x+1)=x+1, ..., rad(x+n)=x+n?

[Gi81]

Direi al massimo $3$ (un esempio: $5,6,7$).
Se infatti ne prendi $4$ (o più di $4$) consecutivi, uno di loro è divisibile per $4$, cioè per $2^2$.

[Il Pitagorico]

se partiamo da un numero dispari si può avere come successivo un pari composto da 2(2n-1), poi di nuovo un numero dispari e poi un pari composto da 2(2n), quindi che diventa rad($2^2*n$)=2n. Questo processo poi si ripete all'infinito, vero?

[giammaria2]

Vero. Naturalmente può succedere che uno dei dispari differisca dal suo rad; ad esempio $rad(27)=3$.

[Il Pitagorico]

sì, questo me l'ho aspettavo. Comunque ci possono essere al massimo 3 di fila che sono uguali al suo rad.