Radici di un polinomio di n addendi

[.Ruben.17]

Dimostrare(senza usare la formula della somma geometrica) che l'equazione $x^n + x^{n-1} + ... + x + 1 = 0$
ha come unica soluzione reale $x=-1$ per ogni $n$ dispari

[Vincent46]

Per induzione su $n$. Per $n=1$ è vero. Supponiamo sia vero per tutti i dispari minori o uguali a $n-2$ e dimostriamolo per $n$.

Il polinomio a sinistra si può scomporre come

$$ (x^{\frac{n+1}{2}}+1)(x^{\frac{n-1}{2}}+x^{\frac{n-3}{2}}+\dots+1) $$

Gli esponenti di grado più alto nelle due parentesi sono naturali consecutivi, quindi l'uno è dispari e l'altro è pari. Se ${\frac{n+1}{2}}$ è pari, abbiamo finito per induzione. Altrimenti supponiamo che ${\frac{n+1}{2}}$ sia dispari. Allora è sufficiente dimostrare che il polinomio $x^m+x^{m-1}+ ... +1$ non ha zeri per $m$ pari.

Questo si può ad esempio verificare notando che, per $x < -1$, il primo termine (che è positivo) è in valore assoluto maggiore del secondo (che è negativo), il terzo è in valore assoluto maggiore del quarto, eccetera, quindi la somma totale è positiva. Per $x$ compreso fra $-1$ e $0$, invece, ogni termine positivo è maggiore in valore assoluto di quello negativo che gli sta a sinistra.

EDIT: si può anche scomporre come
$(1+x)(x^{n-1}+x^{n-3}+...+1)$
che pure risolve subito il problema, dato che il secondo fattore è maggiore di uno.

[Pachisi]

Forse

Per $x \ge 0$ non ci sono soluzioni. Ora, per $x<-1$, $x^n+x^(n-1)$, $x^(n-2)+x^(n-3)$, ...,$x+1$ sono tutti minori di zero. Allora, lo è anche la loro somma. Quindi, non ci sono soluzioni per $x<-1$. Per $-1

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[.Ruben.17]

Sono buone entrambe, complimenti!

[Erasmus_First]

".Ruben.":Dimostrare(senza usare la formula della somma geometrica) che l'equazione $x^n + x^{n-1} + ... + x + 1 = 0$
ha come unica soluzione reale $x=-1$ per ogni $n$ dispari

Veramente qui il numero di addendi è n+1.
Mi va di spiatellare anch'io una dimostrazione.

Siccome $n$ è dispari qualsiasi, si ponga $n = 2m-1$ con $m$ intero positivo qualsiasi.
Allora il dato polinomio diventa:
$P_m(x) = x^(2m-1) + x^(2m-2) + ... +x^2 + x + 1$. (*)
Moltiplicando entrambi i menbri di (*) per $x-1$ si ricava:
$(x-1)·P_m(x) = x^(2m) - 1$.
Pertanto vale la catena di equivalenze seguenti:
$x^(2m) = 1$ ⇔ $x^(2m) -1 = 0$ ⇔ $(x-1)·P_m(x) = 0$ ⇔ $[P_m(x)=0] ∨ [(x-1)= 0]$ ⇔
⇔ $[P_m(x)=0] ∨ (x=1)$. (**)
Da qui si ha subito:
$x^(2m) = 1$ ⇔ $[P_m(x)=0 ∨ (x=1)]$. (***)
In quest'ultima equivalenza, le soluzioni dell'equazione $x^(2m) = 1$ sono tutte e sole le radici distinte (2m)-esime di 1 che in $CC$ sono notoriamente:
$x_k = e^(jk(π/m))$ per $k$ intero da 1 a $2m$ inclusi.
Tra queste (2m) soluzioni, reali sono solo $x_m = e^(jπ) = -1$ e $x_(2m)=e^(j2π) = 1$,
Tali sono le soluzioni di $[P_m(x)=0] ∨ (x=1)]$.
Pertanto, l'unica soluzione reale di $P_m(x)=0$ è $x_m = e^(jm(π/m))$ = e^(jπ) =-1$.

________

[@melia]

Quest'ultima soluzione stavo per metterla anch'io. Bruciata sul tempo.