Quesito di Probabilità

[.Ruben.17]

Ciao a tutti!
Ho trovato questo esercizio in rete e ho pensato di proporvelo

"Si vuole andare da Pisa a Firenze (che distano L in linea retta), senza biglietto e senza prendere multe.
Assumiamo che si possa scendere dal treno e prenderne un altro(che va nella stessa direzione) in ogni momento senza perdere tempo nel cambio, e assumiamo che la probabilità di essere trovati dal controllore sia proporzionale alla distanza percorsa stando sullo stesso treno.
Trovare la migliore strategia e determinare la massima probabilità di arrivare a Firenze senza essere beccati."

Vi prego di tralasciare la questione etica(l'esercizio probabilmente è formulato così solo per garantire un'efficace comprensione, in ogni caso è un bel quesito di probabilità).

Io ho provato prima i casi semplici; poi ho utilizzato le proprietà della media geometrica e i limiti di successioni.
Comunque sono possibili molte modalità di risoluzione, anche senza utilizzare l'analisi.

[veciorik]

La probabilità P di sfuggire al controllo cresce aumentando (limite infinito) i cambi e riducendo (limite zero) la lunghezza dei tratti sullo stesso treno.
Per semplicità sia $P=0$ senza cambi.
Con un cambio a metà $P=0.5*0.5=0.25$
Non conviene dividere in parti diverse, ad esempio $0.4 * 0.6 = 0.24 < 0.25$
Dividendo in $n$ parti uguali
\(P_n=(1-1/n)^n \ , \ P_1=0 \ , \ P_2=0.25 \ , \ P_3=0.296... \ , \ P_4=0.316... \ , \ P_{10}=0,348... \ , \ P_{100}=0.366...\ , \ P_{\infty}=1/e=0.367879...\ \)

[Erasmus_First]

"veciorik":[...] Non conviene dividere in parti diverse, ad esempio $0.4 * 0.6 = 0.24 < 0.25$
Dividendo in $n$ parti uguali
\(P_n=(1-1/n)^n \ , \ P_1=0 \ , \ P_2=0.25 \ , \ P_3=0.296... \ , \ P_4=0.316... \ , \ P_{10}=0,348... \ , \ P_{100}=0.366...\ , \ P_{\infty}=1/e=0.367879...\ \)

Se p è la probabilità d'essere beccati in un tratto che dura T, la probabilità di farla franca in un tratto che dura t $P_1 = 1 – t/T·p$;
e quella in un tratto che dura T-t è
$P_2 = 1 – (T-t)/T·p = 1-p + t/T·p$
Posto x = t/T, la probabilità di farla franca suddividendo il tratto che dura T in due tratti di durata rispettiva t < T e T-t è:
$P(x) = P_1·P_2 = (1–xp)(1-p+xp) = 1 - p +p^2x-p^2x^2$.
Cerchiamo, nel modo in cui insegnano i testi per liceo scientifico , come dividere un tratto in due per avere la massima probabilità di farla franca.
Derivando una prima volta rispetto ad $x$ si ha $(dP)/(dx) = p^2 - 2xp^2$. Pertanto $(dp)/(dx)'$ è nulla in $x=1/2$.
Derivando una seconda volta si ha $(d^2P)/dx^2 = -2p^2 < 0$ (costante).
La probabilità di farla franca è dunque massima in
$x =1/2$
e vale
$P(0,5) = 1-p+p^2/2 -p^2/4 = 1 - p + P^2/4 = (1 - p/2)^2$
dove p è la probabilità di non farcela nel tratto che dura T.
Giustamente Veciorik mette allora tutti i tratti della stessa durata.
Se T è il tempo dell'intero percorso la probabilità di farcela in n tratti che durano ciascuno T/n è
$(1 - p/n)^n = [(1-p/n)^(n/p)]^p$
che, al tendere di n a $+∞$ tende a $(1/e)^p$.
Veciorik suppone $p = 1$ – ma questo non è necessario (*)– per cui trova $P(1/n) = (1 – 1/n)^n$ e allora, per n tendente a $+∞$ la probabilità di farcela tende ad $1/e$.

(*) Negli anni '70 a Catania era costume che i catanesi non pagassero il "bollo" di circolazione dell'auto!
A differenza di Veciorik, ho messo la possibilità che la probabilità p di essere beccati nell'intero percorso sia minore di 1 ... dipendendo essa fortemente dal tratto di linea (se sta in questa o quella regione) perché m'è venuto in mente quanto solidali erano negli anni 7'0 i vigili catanesi con gli automobilisti siciliani Quando lavoravo a Milano avevo un collega catanese che si sentiva vittima di una ingiustizia perché, circolando a Milano, a differrenza dei compaesani rimasti in Sicilia, doveva pagare il "bollo" [essendoci allora l'obbligo di esporlo ed essendo poco probabile che "el ghisa" fosse pure siciliano e applicasse a Milano le consuetudini siciliane!

[.Ruben.17]

Belle entrambe le soluzioni, anche se si poteva risolvere senza derivate(io ho usato le medie)
Complimenti

[Leonardo9P]

"veciorik":

La probabilità P di sfuggire al controllo cresce aumentando (limite infinito) i cambi e riducendo (limite zero) la lunghezza dei tratti sullo stesso treno.
Per semplicità sia $P=0$ senza cambi.
Con un cambio a metà $P=0.5*0.5=0.25$
Non conviene dividere in parti diverse, ad esempio $0.4 * 0.6 = 0.24 < 0.25$
Dividendo in $n$ parti uguali
\(P_n=(1-1/n)^n \ , \ P_1=0 \ , \ P_2=0.25 \ , \ P_3=0.296... \ , \ P_4=0.316... \ , \ P_{10}=0,348... \ , \ P_{100}=0.366...\ , \ P_{\infty}=1/e=0.367879...\ \)

Sono arrivato anche io a formulare quest'ipotesi tuttavia mi sono bloccato. Quando lo tendi ad infinito perchè fai 1/e? Non mi è chiara quella parte li!!

[Erasmus_First]

"LeonardoP9":[...] Quando n tende ad infinito perchè fai 1/e? Non mi è chiara quella parte li!!

Per definizione la costante "e" è il limite, per n tendente a $+∞$, di $(1 + 1/n)^n$.
Se metti $x = 1/n$, "e" ti viene il limite, per x tendente a 0, di $(1 + x)^(1/x)$.
Ma non è necessario che sia x = 1/n con n naturale tendente a $+∞$. E' sufficiente che x sia infinitesimo.
In particolare, puoi anche prendere x negativo.
Allora, se metti $x=1/-n$ con n natiurale ti viene:
"e" = limite per n tendente a $+∞$ di $(1 + 1/-n)^-n =(1 - 1/n)^-n$.
Adesso fa' il reciproco: e per fare il reciproco ti basta commutare il segno dell'esponente. Trovi:
$1/e = $ limite, per n tendente a $+∞$, di $1/(1 - 1/n)^-n = (1 - 1/n)^n$.

Ricorda che e ≈ 2,7182818 ... e perciò 1/e ≈ 0,36787944...
Se disponi di calcolo automatico, prova a calcolare $(1 - 1/n)^n$ per n molto grande.
Vedrai che, più grande è n, più il risultato si avvicina a 1/e,
________

[Leonardo9P]

Ok adesso ho capito. Thanks!