Quesito ammissione normale di Pisa, quadrato perfetto
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo problema e non riesco a comprenderlo completamente...
" trovare i valori interi positivi di n per cui $ n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 $ è un quadrato perfetto.
Ciò che ho fatto è stato sostituire n=3 che da 121 ovvero 11^2
E scrivere il polinomio in forma $ n(n^2+1)(n+1) +1 $ che mi fa solo capire che se n è pari il risultato del polinomio è dispari, stessa cosa se n è dispari, quindi i valori del polinomio sono solo dispari, e nel caso in cui siano quadrati, ovviamente sono quadrati di numeri dispari, non riesco a fare più di così, aiuto per favore
grazie!!
" trovare i valori interi positivi di n per cui $ n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 $ è un quadrato perfetto.
Ciò che ho fatto è stato sostituire n=3 che da 121 ovvero 11^2
E scrivere il polinomio in forma $ n(n^2+1)(n+1) +1 $ che mi fa solo capire che se n è pari il risultato del polinomio è dispari, stessa cosa se n è dispari, quindi i valori del polinomio sono solo dispari, e nel caso in cui siano quadrati, ovviamente sono quadrati di numeri dispari, non riesco a fare più di così, aiuto per favore
grazie!!
Risposte
Mi pare che andava confinato tra due quadrati perfetti trattando separatamente il caso $n$ pari e il caso $n$ dispari....
Praticamente impensabile se non fosse che era già comparso sull'oliforum tempo prima
(Questo trucco di solito "si pensa" con polinomi di secondo grado, ma con polinomi di quarto grado sembra più magica la cosa)
Praticamente impensabile se non fosse che era già comparso sull'oliforum tempo prima
(Questo trucco di solito "si pensa" con polinomi di secondo grado, ma con polinomi di quarto grado sembra più magica la cosa)
Ciao, scusa in che senso confinato tra due quadrati? E secondo quale logica?
Saluti
Saluti
In pratica, se un numero è compreso tra due quadrati perfetti consecutivi non può essere un quadrato perfetto.
Ad esempio $k^2+2k$ con $k$ intero positivo non può essere un quadrato perfetto perchè è compreso tra $k^2$ e $(k+1)^2$. Con la stessa logica puoi limitare quel polinomio tra due quadrati perfetti consecutivi (e rimane fuori qualche piccola eccezione che appunto ti da una soluzione).
Ad esempio $k^2+2k$ con $k$ intero positivo non può essere un quadrato perfetto perchè è compreso tra $k^2$ e $(k+1)^2$. Con la stessa logica puoi limitare quel polinomio tra due quadrati perfetti consecutivi (e rimane fuori qualche piccola eccezione che appunto ti da una soluzione).
Scusate però non capisco come quel ragionamento possa portarmi ad una soluzione.
Comunque credo di aver fatto progressi: siccome nel caso il polinomio fosse un quadrato perfetto sarebbe il quadrato di un dispari (come già detto) e i quadrati dei numeri dispari sono congrui a 1 (mod8) significa che io devo semplicemente risolvere l'equazione
$ n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 \equiv 1 (mod 8) $
Non è giusto come ragionamento? Il problema è che non so risolverla...
Grazie a tutti delle risposte attendo insulti/pareri/aiuti
Comunque credo di aver fatto progressi: siccome nel caso il polinomio fosse un quadrato perfetto sarebbe il quadrato di un dispari (come già detto) e i quadrati dei numeri dispari sono congrui a 1 (mod8) significa che io devo semplicemente risolvere l'equazione
$ n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 \equiv 1 (mod 8) $
Non è giusto come ragionamento? Il problema è che non so risolverla...
Grazie a tutti delle risposte attendo insulti/pareri/aiuti
Però non so se continuando con la tua strada si arriva davvero alla soluzione. Non ho provato, ma non mi sembra immediata. Con quell'altro metodo arrivi alla soluzione rapidamente
Non so cosa non hai capito, si tratta di trovare due quadrati consecutivi in funzione di $n$ tra cui racchiudere $n^4+n^3+n^2+n+1$. E a quel punto puoi dire che siccome è compreso tra due quadrati consecutivi non può essere un quadrato.... Poi se proprio vuoi potrei dirti anche quali quadrati, ma così che gusto c'è!
Non so cosa non hai capito, si tratta di trovare due quadrati consecutivi in funzione di $n$ tra cui racchiudere $n^4+n^3+n^2+n+1$. E a quel punto puoi dire che siccome è compreso tra due quadrati consecutivi non può essere un quadrato.... Poi se proprio vuoi potrei dirti anche quali quadrati, ma così che gusto c'è!
Cavolo, non capisco che quadrati, a questo punto mi arrendo, potresti dirmeli per favore?
Allora se $n$ è pari i quadrati sono $(n^2+n/2)^2$ e $(n^2+n/2+1)^2$. Puoi verificare facilmente che
$(n^2+n/2)^2 < n^4+n^3+n^2+n+1<(n^2+n/2+1)^2$. E quindi quello in mezzo non è un quadrato. (*)
Se invece $n$ è dispari i quadrati dovrebbero essere:
$(n^2+n/2 -1/2)^2$ e $(n^2+n/2+1/2)^2$ (che sono entrambi interi con $n$ dispari eh ).
Svolgendo i conti si nota che $n^4+n^3+n^2+1 > (n^2+n/2 -1/2)^2$ sempre.
Mentre $(n^2+n/2+1/2)^2>n^4+n^3+n^2+1$ solo per $n>3$.
Quindi per $n>3$ vale $(n^2+n/2-1/2)^2 < n^4+n^3+n^2+n+1<(n^2+n/2+1/2)^2$ e si conclude come prima. (*)
I restanti casi: $n=1,2,3$ si provano a mano e solo per $n=3$ si ha la soluzione.
(*) Penso sia chiaro che se un intero positivo è compreso strettamente tra due quadrati perfetti consecutivi non può essere un quadrato no?
$(n^2+n/2)^2 < n^4+n^3+n^2+n+1<(n^2+n/2+1)^2$. E quindi quello in mezzo non è un quadrato. (*)
Se invece $n$ è dispari i quadrati dovrebbero essere:
$(n^2+n/2 -1/2)^2$ e $(n^2+n/2+1/2)^2$ (che sono entrambi interi con $n$ dispari eh
).Svolgendo i conti si nota che $n^4+n^3+n^2+1 > (n^2+n/2 -1/2)^2$ sempre.
Mentre $(n^2+n/2+1/2)^2>n^4+n^3+n^2+1$ solo per $n>3$.
Quindi per $n>3$ vale $(n^2+n/2-1/2)^2 < n^4+n^3+n^2+n+1<(n^2+n/2+1/2)^2$ e si conclude come prima. (*)
I restanti casi: $n=1,2,3$ si provano a mano e solo per $n=3$ si ha la soluzione.
(*) Penso sia chiaro che se un intero positivo è compreso strettamente tra due quadrati perfetti consecutivi non può essere un quadrato no?
Grazie mille, non riuscivo a trovare due quadrati effettivamente giusti nei quali confinare il polinomio, per il resto ho capito grazie davvero! Spero di migliorare i miei ragionamenti in futuro...
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