Quesiti gara on line Kangourou della Matematica

[paolasemprini]

Questo è
il testo di un quesito della simulazione di ieri 28 febbraio, della gara on line Kangourou della Matematica Scuola media:


Determinare il numero N che si scrive in notazione decimale a b c d, in modo cge la somma in figura sia verificata:

a b c +
d a b +
c d a +
b c d =
------------
a b c d

Il mio ragionamento mi ha portato ad assegnare ad a il valore 2, verificando che non possa ssumere i valori 1 o 3.
La condizione affinche c sia diverso da d e b da c è che d = 9, ci sia il riporto di 1 dalle unità alle decine e di 2 dalle decine alle centinaia. Questo conduce ad avere c = 0 (OK) ma b non torna!!
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà a capire .

[giammaria2]

In esercizi di questo tipo si intende sempre che a lettera diversa corrisponda cifra diversa. Con questa condizione però anch'io concludo che non ci sono soluzioni; sarò felice se qualcuno mi smentirà, ma lo credo impossibile.

[veciorik]

Non è detto che le cifre siano diverse. Non è detto che lo zero sia ammesso come prima cifra di un addendo. Io penso di NO.
La mia soluzione:

La somma dei quattro addendi vale $ \quad 111*(a+b+c+d)=37*3* \sigma \quad $ che è divisibile per $3$

Quindi è divisibile per $3$ la somma delle sue cifre $ \ \sigma \ $, mentre il totale e la somma delle sue cifre sono divisibili per $9$

Pertanto il totale è multiplo di $ \quad 999 \quad $: quattro possibilità : $ \quad 999 \ , \ 1998 \ , \ 2997 \ , \ 3996 $

Soltanto $ \quad 2997 \quad $ soddisfa il vincolo $ \quad a+b+c+d=d \quad $ con eventuale riporto.

[giammaria2]

Sì, credo che il problema sia solubile solo ammettendo che a lettere diverse possano corrispondere cifre uguali. La tua soluzione mi piace molto, però un tuo passaggio mi sembra mal motivato, probabilmente per la fretta.

"veciorik":La somma dei quattro addendi vale $ \quad 111*(a+b+c+d)=37*3* \sigma \quad $ che è divisibile per $3$
Quindi è divisibile per $3$ la somma delle sue cifre $ \ \sigma \ $

La divisibilità per 3 rientra nel 111: perché dovrebbe valere anche per $sigma$?
Io arriverei al tuo stesso risultato scrivendo che la somma vale $1000a+100b+10c+d$, quindi
$111*(a+b+c+d)=a+b+c+d+9(111a+11b+c)$
$110(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)$
che mostra che $a+b+c+d$è divisibile per 9. Si continua poi come hai fatto tu.

[veciorik]

Sono stato troppo parco nella spiegazione. Provo a rimediare.

Riparto da $ \ 37*3*(a+b+c+d)=abcd \ $ : se l'espressione di sx è multipla di 3 anche quella di dx deve esserlo.

Criterio di divisibilità per 3: $ \ abcd \ $ è multiplo di 3 se lo è la somma delle sue cifre $ \quad a+b+c+d \quad $

Ma $ \quad a+b+c+d \quad $ è a fattore nell'espressione di sx che, avendo già un fattore 3 in chiaro, sarà multipla di 9.

Naturalmente anche l'espressione di dx nell'uguaglianza $ \ abcd \ $ deve essere multipla di 9.

Criterio di divisibilità per 9: $ \ abcd \ $ è multiplo di 9 se lo è la somma delle sue cifre $ \quad a+b+c+d \quad $

Riscrivo l'equazione nella forma $ \ 37*3*(a+b+c+d)=37*3*9*x=999*x=abcd \quad $ con $ \quad 1 \le x \le 4 $

[paolasemprini]

Ringrazio tutti per la soluzione.
L'organizzazione ha inviato le soluzioni e il numero N richiesto è proprio 2997
A presto.

[Erasmus_First]

"paolasemprini":
Determinare il numero N che si scrive in notazione decimale a b c d, in modo cge la somma in figura sia verificata:

   a b c +
   d a b +
   c d a +
   b c d =
------------
 a b c d 

Il quarto addendo "b c d" .. fa solo fumo!
Non si perde informazione se si sostituisce la somma dei 4 addendi con quest'altra dei soli primi tre addendi:

   a b c +
   d a b +
   c d a =
–––––––––
 a 0 0 0  = a·1000

Il problemna è passato anche in un altro forum e là è stato risolto come si vede in questo link:
http://www.trekportal.it/coelestis/showpost.php?p=814728&postcount=2011
Non ci sono soluzioni tranne che per:
a = 2;
b = c = 9;
d = 7.
Considerato che non può essere a > 2, basta infatti provare con a = 1 per vedere che a = 1 non va bene.
Provando con a = 2 si trova che occorre sempre un riporto 2, ossia che deve essere
b + c = 18 (*)
b + d = 16 (**)
c + d = 16. (***)
Anche prescindendo dal fatto che ogni cifra non può essere maggiore di 9, dalle ultime due viene c = b e quindi dalla (*) c = b = 9. E allora dalla (**) o dalla (***) viene d = 7.
In conclusione:

   a b c  +                      299 +
   d a b  +                      729 +
   c d a  +                      972 +
   b c d =                       997 =
–––––––                      –––––––
 a b c d                        2997

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