Quanti triangoli?

[axpgn]

Fissato il perimetro $n$, quanti differenti triangoli esistono che non siano congruenti fra loro, non siano degeneri e abbiano tutti e tre i lati di misura intera?


Cordialmente, Alex

[jas1231]

propongo una "soluzione", anticipo che non posterò la dimostrazione perché per scriverla ci metterei ore (basta guardare quanto è lunga la scrittura in latex di queste formule), ma comunque nella mia testa c'è.

legenda

\(\lceil{x}\rceil=n \in \mathbb{N} \mid x \le n < x+1\)
\(\lfloor{x}\rfloor=n \in \mathbb{N} \mid x \ge n > x-1 \)

soluzione

\[N=
\begin{cases}
\sum \limits_{i=0}^{\lceil{\frac{n}{2}}\rceil-\lceil{\frac{n}{3}}\rceil-1}\Large\lceil{\normalsize\dfrac{n-1-6i}{4}}\Large \rceil \,\,\,\normalsize \text{se} \,\,\, n \equiv 1 \pmod{2}\\
\,\,\,\\
\sum \limits_{i=0}^{\lceil{\frac{n}{2}}\rceil-\lceil{\frac{n}{3}}\rceil-1}\Large\lceil{\normalsize\dfrac{n-4-6i}{4}}\Large \rceil \,\,\,\normalsize \text{se} \,\,\, n \equiv 0 \pmod{2}
\end{cases}\]

Da qui si può anche ricavare una formula diretta (senza sommatorie) ma vanno distinti più casi:

\[\begin{array}{1}
\text{se} \,\,\, n \equiv 1 \pmod{2} :\\
\,\,\\
N=\begin{cases}
\dfrac{\Large(\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil)\,\,(\normalsize n - 3\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize + 3 \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}\Large\rceil \normalsize +3 \Large)\normalsize}}{4} \,\,\,\, \text{se} \,\,\,\, \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize \equiv 0 \pmod{2}\\
\,\,\\
\,\,\\
\,\,\\
\dfrac{\Large(\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil)\,\,(\normalsize n - 3\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize + 3 \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}\Large\rceil \normalsize +2 \Large)\normalsize}}{4} + \dfrac{\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize -1}{4} \,\,\,\, \text{se}\,\,\,\, \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize \equiv 1 \pmod{2} \,\,\,\, \text{e}\,\,\,\, n \equiv 1 \pmod{4}
\,\,\\
\,\,\\
\,\,\\
\,\,\\
\dfrac{\Large(\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil)\,\,(\normalsize n - 3\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize + 3 \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}\Large\rceil \normalsize +2 \Large)\normalsize}}{4}+ \dfrac{\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize +1}{4} \,\,\,\, \text{se}\,\,\,\, \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize \equiv 1 \pmod{2} \,\,\,\, \text{e}\,\,\,\, n \equiv 3 \pmod{4}
\end{cases}
\\
\,\,\\
\,\,\\
\text{se} \,\,\, n \equiv 0 \pmod{2} :\\
\,\,\\
N=\begin{cases}
\dfrac{\Large(\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil)\,\,(\normalsize n - 3\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize + 3 \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}\Large\rceil)\normalsize}}{4} \,\,\,\, \text{se} \,\,\,\, \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize \equiv 0 \pmod{2}\\
\,\,\,\\
\,\,\\
\,\,\\
\dfrac{\Large(\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil)\,\,(\normalsize n - 3\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize + 3 \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}\Large\rceil \normalsize -1 \Large)\normalsize}}{4} + \dfrac{\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize -1}{4} \,\,\,\, \text{se}\,\,\,\, \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize \equiv 1 \pmod{2} \,\,\,\, \text{e}\,\,\,\, n \equiv 0 \pmod{4}
\,\,\\
\,\,\\
\,\,\\
\,\,\\
\dfrac{\Large(\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil)\,\,(\normalsize n - 3\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize + 3 \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}\Large\rceil \normalsize -1 \Large)\normalsize}}{4}+ \dfrac{\Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize +1}{4} \,\,\,\, \text{se}\,\,\,\, \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{2}}\Large\rceil \normalsize - \Large\lceil{\normalsize \dfrac{n}{3}}\Large\rceil \normalsize \equiv 1 \pmod{2} \,\,\,\, \text{e}\,\,\,\, n \equiv 2 \pmod{4}
\end{cases}
\end{array}
\]

nel caso voleste verificare la formula con sommatorie metto qui un codice in python:

import math

k=int(input())
t= math.ceil(k/2)-math.ceil(k/3)
x=range(0,t)

def b(n):
    if k % 2 == 0:
        return (k - 4 - 6*n)/4
    else:
        return (k-1-6*n)/4

def summ(x):
    e=0
    for j in x:
        e += math.ceil(b(j))
    return e

print(summ(x))

per verificare l'uguaglianza tra la formula con le somme e quella diretta invece c'è questo, che restituisce la differenza tra le due:

import math

k=int(input())
t= math.ceil(k/2)-math.ceil(k/3)
x=range(0,t)

def b(n):
    if k % 2 == 0:
        return (k - 4 - 6*n)/4
    else:
        return (k-1-6*n)/4

def summ(x):
    e=0
    for j in x:
        e += math.ceil(b(j))
    return e

def c(x):
    u=0
    for i in x:
        u += b(i)
    return u

def res(n):
    if t % 2 == 0:
        return t/4
    if t % 2 == 1 and k % 4 == 0:
        return (t-1)/4
    if t % 2 == 1 and k % 4 == 1:
        return (t-1)/4
    if t % 2 == 1 and k % 4 == 2:
        return (t+1)/4
    if t % 2 == 1 and k % 4 == 3:
        return (t+1)/4

ress=res(0)

def lsumml(x):
    return c(x)+ress


print(lsumml(x)-summ(x))

[axpgn]

"jas123":... ma comunque nella mia testa c'è.

Ma potrebbe essere sbagliata

Visto che con Python non ho niente a che fare, lascio la verifica ad altri (ma son fiducioso che funzioni )

E comunque, apprezzo molto il gran lavoro fatto

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco la mia ...

Parto facendo riferimento a questo problema; diversamente da quello, qui dobbiamo togliere i punti sui bordi. Inoltre, in quel caso, le $N$ terne ordinate comprendono sei volte gli scaleni e tre volte gli isosceli (cioè $N=6S+3I+E$) mentre i nostri triangoli $T$ sono $T=S+I+E$.

Un po' di algebra e diventa $T=(N+3H+2E)/6$ dove $H=I+E$.

$N$ lo conosociamo già mentre $E$ vale $1$ se $n$ è multiplo di tre altrimenti vale zero.
Per trovare $H$ dobbiamo trovare il numero di soluzioni dell'equazione $2a+b=n$ con condizioni $a>0, b>0, 2a>b$ che portano alla disuguaglianza $n/4 Ci sono $H=\lfloor (n-1)/2 \rfloor - \lfloor n/4 \rfloor $ soluzioni.
Adesso bisogna ricomporre il tutto
Se riscriviamo $n=12q+r$, abbiamo dodici casi al variare di $r$, i quali sono tutti "somiglianti" fra loro, per esempio se $r=2$ allora $T=(n^2-4)/48$ mentre se $r=3$ allora $T=(n^2+6n+21)/48$ ovvero variano solo per il termine noto, il quale però, in valore assoluto, è sempre minore della metà del denominatore.
Questo ci permette di "consolidare" il tutto con due sole formule ovvero il numero $T$ di triangoli cercato è pari all'intero più vicino a $T=n^2/48$ se $n$ è pari oppure a $T=(n^2+6n)/48$ se $n$ è dispari.

Cordialmente, Alex