Qualche problemino
'Sera!
Mi sono imbattuto in qualche problemino di carattere matematico che, semplicemente, mi incuriosiscono.
1) Quanti numeri palindromi ci sono tra 100 e 1000?
R: Qui, ho tentato di generalizzare la struttura di un numero palindromo da 3 cifre, arrivando a: $ x * 10^2 + y * 10^1 + x * 10^0 = 100x + 10y + x = 101x + 10y $
L'unica cosa che mi viene ora in mente è mettere a sistema:
$ { ( 101x + 10y < 1000 ),( 101x + 10y > 100 ):} $
Mappoi? Anche se lo risolvessi, come farei a trovare il numero di elementi dell'insieme delle soluzioni?
2) Il prodotto di tre numeri positivi è 300. Se il primo fosse 5, quale sarebbe il valore minimo della somma dei rimanenti due?
R: $ x * y * z = 300 => 5*y*z = 300 => y*z = -1500 $
3) Consideriamo una scacchiera 6x6. Qual'è il numero massimo di scacchiere 3x3 che ci sono nella scacchiera?
E qui, più che contare stupidamente con i quadretti non ho trovato nessuna soluzione...
Qualche indizio?
Grazie!
Mi sono imbattuto in qualche problemino di carattere matematico che, semplicemente, mi incuriosiscono.
1) Quanti numeri palindromi ci sono tra 100 e 1000?
R: Qui, ho tentato di generalizzare la struttura di un numero palindromo da 3 cifre, arrivando a: $ x * 10^2 + y * 10^1 + x * 10^0 = 100x + 10y + x = 101x + 10y $
L'unica cosa che mi viene ora in mente è mettere a sistema:
$ { ( 101x + 10y < 1000 ),( 101x + 10y > 100 ):} $
Mappoi? Anche se lo risolvessi, come farei a trovare il numero di elementi dell'insieme delle soluzioni?
2) Il prodotto di tre numeri positivi è 300. Se il primo fosse 5, quale sarebbe il valore minimo della somma dei rimanenti due?
R: $ x * y * z = 300 => 5*y*z = 300 => y*z = -1500 $
3) Consideriamo una scacchiera 6x6. Qual'è il numero massimo di scacchiere 3x3 che ci sono nella scacchiera?
E qui, più che contare stupidamente con i quadretti non ho trovato nessuna soluzione...
Qualche indizio?
Grazie!
Risposte
Per quanto riguarda il primo, non mi sembra assai complicato....
Perchè sia palindromo, la prima e la terza cifra devono essere uguali.
Per cui hai 9 possibilità: da 1 a 9.
Per la seconda cifra hai 10 possibilità: da 0 a 9.
per cui: $9*10=90$
Perchè sia palindromo, la prima e la terza cifra devono essere uguali.
Per cui hai 9 possibilità: da 1 a 9.
Per la seconda cifra hai 10 possibilità: da 0 a 9.
per cui: $9*10=90$
Per il secondo, non ho mica capito il tuo ragionamento.....
Se $x*y*z=300$ e $x=5$ allora $5*y*z=300$ da cui $y*z=60$
Ti rimangono i seguenti casi:
$1*60$
$2*30$
$3*20$
$4*15$
$5*12$
$6*10$
Quello che ti interessa è l'ultimo: $6+10=16$
Se $x*y*z=300$ e $x=5$ allora $5*y*z=300$ da cui $y*z=60$
Ti rimangono i seguenti casi:
$1*60$
$2*30$
$3*20$
$4*15$
$5*12$
$6*10$
Quello che ti interessa è l'ultimo: $6+10=16$
Le scacchiere sono $4*4=16$
Grazie mille a tutti!
Sono molto più facili di quello che sembrano...
Sono molto più facili di quello che sembrano...
"superpippone":Ma il testo non richiede che i numeri siano interi! Si limita a precisare che sono positivi.
Per il secondo [...]
Se $x*y*z=300$ e $x=5$ allora $5*y*z=300$ da cui $y*z=60$
Ti rimangono i seguenti casi:
$1*60$
$2*30$
$3*20$
$4*15$
$5*12$
$6*10$
"Hydr":Allora, se xy = 300/5 = 60, il minimo di x+y si ha per x = y = $sqrt(60)$ e quindi vale $S_min = 2·sqrt(60)$.
[...]
2) Il prodotto di tre numeri positivi è 300. Se il primo fosse 5, quale sarebbe il valore minimo della somma dei rimanenti due?
Eliminando y = 60/x, si ha x + y = x + 60/x. Che il minimo di di questa somma per x > 0 sia $2·sqrt(60)$ si trova subito anche senza far uso delle derivate se si scrive x + 60/x nella forma
$S = sqrt(60)·(x/sqrt(60) + sqrt(60)/x)$
e si tien conto del fatto che, a parità di area, il rettangolo a perimetro minimo è il quadrato.
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