Quadrilateri nel piano

[Pachisi]

Dati $n$ punti nel piano, a tre a tre non allineati, dimostrare che è possibile formare almeno \( \displaystyle \binom{n-3}{2} \) quadrilateri convessi.

[Sk_Anonymous]

"sprmnt21":si può fare così: si prendo P1, P2 e P3 tali che tutti gli altri punti stiano all'interno dell'angolo Infatti la retta CiCj dividerà l'angolo in due parti diu cui una conterrà due punti P1, Pk. I quattro punti sulle due rette formano necessariamente un quadrilatero convesso in quanto Ci, Cj stanno nello stesso semipiano dei due determinati dalla retta P1Pk e viceversa. Qualsiasi altra delle C(n-3,2) coppie formerà un quadrialetro convesso distinto dagli altri per almeno un punto.

dove c'e' scritto P1,Pk o P1Pk si deve correggere in, per usare una lettera che più si avvicina a "1" , Pl, Pk e PlPk. Questo perché ci può essere naturalmente il caso in cui CiCj taglia P1P2P3 in modo tale da isolare P1. In questo caso il quadrilatero convesso è formato da P2,P3, Ci e Cj.