Quadrato con due triangoli esterni

[j18eos]

Sia \(ABCD\) un quadrato di lato \(16\). Su due lati consecutivi \(AB\) e \(BC\) si costruiscano, esternamente al quadrato, due triangoli equilateri di terzo vertice, rispettivamente, \(E\) ed \(F\).

Quanto vale l'area del triangolo \(BEF\)?

P.S.: Questo esercizio lo proposi l'anno scorso in un liceo scientifico, in preparazione ai giochi di Archimede!

[Zero87]

So che questa è una sezione delle superiori...
... però solo qua posso prendermi qualche soddisfazione ...
[size=85](Quello che leggo in "pensare un po' di più" mi sembra un misto tra l'arabo e l'aramaico.)[/size]

Nel nostro triangolo (non ho la figura sottomano, può darsi che sbaglio), i lati sono $BE$, $EF$ e $FB$.
$\bar(BE)=\bar(BF)=16$ per ipotesi.
Il nostro triangolo è isoscele e, niente non è, infatti vuol dire che gli angoli $FEB$ e $EFB$ sono uguali.
La somma di tutti gli angoli di questo benedetto triangolo è $180^o$.
I due angoli in questione misurano $15^o$ ognuno dato che il terzo angolo è $270^o - 60^o - 60^o =150^o$ (è qui che serve la figura).
Ricordo , dal liceo, che c'era una formuletta per l'area del triangolo che era "$1/2$ per lato per lato per seno dell'angolo compreso" (non lo scrivo a LaTeX perché non ho neanche la figura).

Quindi $1/2 \cdot 16\cdot 16 \cdot sin(150^o)=1/2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 1/2 =64$...

Non sono delle superiori, però ho utilizzato cose imparate alle superiori e, se ci indovino, sono felice come un ragazzino!

EDIT. Ho corretto, mi ero scordato l'$1/2$. Un grazie a xXStephXx per la segnalazione.

[j18eos]

Mi sembra tutto corretto. (in attesa di un controllo mediante un disegno...)

Rilancio: qualcuno sa proporre una soluzione ancora più elementare? Anzi, da scuola media inferiore?

[xXStephXx]

In realtà ti sei scordato di dividere per $2$
Mentre per il rilancio basta considerare che l'angolo supplementare è 30° e quindi calcolare l'area con base per altezza diviso 2 scegliendo come base uno dei lati da 16.

[j18eos]

@Zero87 Ha ragione xXStephXx!

@xXStephXx Il supplementare di quale angolo?

Per quanto riguarda il rilancio, mi aspetto una soluzione da scuola media!

[xXStephXx]

Mi sa che i triangoli con angoli da 30,60 e 90 gradi vengono fatti pure alle medie o sbaglio? Per quanto riguarda l'angolo intendevo l'unico angolo da 150° in figura.

[j18eos]

"xXStephXx":Mi sa che i triangoli con angoli da 30,60 e 90 gradi vengono fatti pure alle medie o sbaglio?...

Non sbagli, anzi hai ragione; ma comunque puoi scrivere come "si chiama" quest'angolo di \(30^{\circ}\), dato che \(E\widehat{B}F=150^{\circ}\)!

[giammaria2]

@ j18eos: vedo che hai capito il rilancio di xXStephXx e credo che volutamente lo abbia fatto in forma un po' ermetica, per non togliere ad altri studenti il piacere di trovare la soluzione. Invito quindi qualcuno di questi altri studenti a scriverla in modo più dettagliato.

[j18eos]

Più che ermetica direi fuorviante... comunque l'ho capita la soluzione!

[gugo82]

Soluzione da scuola media, con un lato qualsiasi.

[asvg]noaxes();
rect([-2,-2],[2,2]);
text([0,0],"O",below); text([-2,2],"A", left); text([2,2],"B",right); text([0,5.464],"E",left); text([5.464,0],"F",below);
line([-2,2],[0,5.464]); line([2,-2],[5.464,0]);
stroke="lightgrey";
line([0,0],[0,5.464]); line([0,0],[5.464,0]);
stroke="red"; strokewidth=2;
line([2,2],[0,5.464]); line([2,2],[5.464,0]); line([0,5.464],[5.464,0]);[/asvg]
Il triangolo \(EBF\) è isoscele sulla base \(EF\), la quale è l'ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele \(EOF\) (ove \(O\) è il centro del quadrato \(ABCD\)): pertanto:
\[
EF = \sqrt{2}\ OE = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2}\ BC + \sqrt{3}\ \frac{1}{2}\ AB\right) = l\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ (\sqrt{3} +1)\; ,
\]
ove \(l\) è la lunghezza del lato del quadrato (ed il fattore \(\sqrt{3}/2\) viene da una sapiente applicazione del teorema di Pitagora).
Tenuto conto del fatto che il semiperimetro del triangolo \(EBF\) è:
\[
p=l+l\ \frac{\sqrt{2}}{4}\ (\sqrt{3} +1) = l\ \left( 1+ \frac{\sqrt{2}}{4}\ (\sqrt{3} +1)\right)\; ,
\]
la formula di Erone ed un po' di algebra restituiscono:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}^2 (EBF) &= p\ (p-l)^2\ \left( p-l\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ (\sqrt{3} +1)\right)\\
&= l^4\ \left( 1+ \frac{\sqrt{2}}{4}\ (\sqrt{3} +1)\right)\ \left( \frac{\sqrt{2}}{4}\ (\sqrt{3} +1)\right)^2\ \left( 1- \frac{\sqrt{2}}{4}\ (\sqrt{3} +1)\right)\\
&= \frac{l^4}{64}\ \left( 8-(\sqrt{3} +1)^2\right)\ (\sqrt{3} +1)^2\\
&= \frac{l^4}{64}\ (\sqrt{3}-1)^2\ (\sqrt{3} +1)^2\\
&= \frac{l^4}{64}\ 2^2\\
&= \frac{l^4}{16}
\end{split}
\]
ossia:
\[
\operatorname{area} (EBF)= \frac{l^2}{4}\; .
\]
Ovviamente, se \(l=16\) la fomula appena trovata restituisce il valore già determinato da Zero87, cioè \(\operatorname{area} (EBF)=64\).

[giammaria2]

Che calcoli lunghi! Esplicito io la soluzione di xXStephXx.

Prolungo EB fino ad incontrare CF in H. Si ha
$C hatBH=180°-E hatBA-A hatBC=180°-60°-90°=30°$
quindi BH è bisettrice e perciò anche altezza e mediana di BCF: ne consegue $HF=8$. EBF può essere considerato di base EB ed altezza HF, quindi
$S(EBF)=(EB*HF)/2=(16*8)/2=64$

[gugo82]

Beh, sì... In effetti non avevo visto il suggerimento.

[j18eos]

@gugo La tua soluzione è quella che i ragazzi volevano intraprendere, eccetto che per il lato generico: si lamentarono con me e con il collega perché proponemmo (secondo loro) un esercizio con una formula risolutiva assurda Poi arrivarono alla soluzione di xXStephXx & giammaria.

[NoRe1]

L'unico problema che mi è riuscito senza carta e penna da questo forum

[j18eos]

Ne sono onorato!