Punto a distanza minima

[Sk_Anonymous]

Forse esagero con questi problemi di minimo ma quello che propongo ora mi sembra carino e non eccessivamente difficile. Si consideri il triangolo $ABC$, rettangolo in $A$ e tale che sia $\bar{AB}=6,\bar{BC=10}$ .
Si determini nel piano del triangolo il punto $P$ in modo che sia minima l'espressione :
$5\bar{PA}^2+4\bar{PB}^2+3\bar{PC}^2$
Calcolare tale valore minimo e dare un'interpretazione geometrica al risultato ottenuto.

[hyoukarou]

Dato che non risponde nessuno, usando le coordinate cartesiane e ponendo \(A\) all'origine, \(B\) sull'asse delle ordinate e \(C\) su quello delle ascisse si trova facilmente(gradiente, hessiana) il punto di minimo \(\displaystyle P = \left(\frac{8}{3}, \frac{3}{2}\right)\).
Per quanto riguarda l'interpretazione geometrica non mi viene in mente nulla, sveleresti l'arcano?

[giammaria2]

Il mio risultato è diverso; anche senza scomodare l'analitica, basta indicare con $x,y$ le proiezioni di $PA$ sui cateti (in sostanza, è la stessa cosa). Dai dati ricavo $AC=8$ e con Pitagora ottengo
$PA^2=x^2+y^2$
$PB^2=(6-x)^2+y^2=x^2+y^2-12x+36$
$PC^2=x^2+(8-y)^2=x^2+y^2-16y+64$
e quindi ho
$f(P)=3PA^2+4PB^2+3PC^2=...=12(x^2+y^2-4x-4y+28)=$
$" "=12[(x-2)^2+(y-2)^2+20]$
Il minimo si ha quando i primi due addendi si annullano, cioè per $x=y=2$ ed è $f_(min)(P)=12*20=240$.
In questo caso $P$ coincide con l'incentro del triangolo, per cui si ha appunto $x=y=r$ nonché $r=S/p=2$

Ho provato a generalizzare il problema: dato il triangolo $ABC$ e la funzione
$f(P)=BC*PA^2+CA*PB^2+AB*PC^2$
trovare il punto $P$ che rende minima la funzione.
Anche in questo caso la risposta è l'incentro e si ha $f_(min)(P)=4RS$. Non riesco però a trovarne una dimostrazione elegante.