Proiezioni Allineate
Sia $ABC$ un triangolo. Dimostrare che le proiezioni del vertice $A$ sulle bisettrici interne ed esterne degli angoli $B$ e $C$ sono allineate.
Risposte
Con un po' di trigonometria non è altro che un corollario del teorema del seno. In particolare la retta su cui giacciono i 4 punti risulta essere parallela a BC. In modo sintetico, come credo tu voglia la dimostrazione, attualmente non mi viene in mente niente.
Non avevo pensato ad una soluzione trigonometrica. Comunque anche in sintetica viene bene.
Per quanto riguarda il metodo trigonometrico:
Siano $D$, $E$, $F$, $G$ le proiezioni di $A$ rispettivamente sulla bisettrice esterna e interna di $C$ e su quella esterna e interna di $B$, siano inoltre $2beta$ e $2gamma$ gli angoli in $B$ e $C$ rispettivamente, siano inoltre $D'$,$E'$,$F'$,$G'$ le proiezioni dei $4$ punti su $BC$, risulta:
$DD'= ACcos(pi/2-gamma)sin(pi/2-gamma)=E E'=ACcosgammasingamma=1/2ACsin2gamma$
$FF'=ABcos(pi/2-beta)sin(pi/2-beta)=GG'=ABsinbetacosbeta=1/2ABsin2beta$
Risulta inoltre dal teorema del seno che $1/2ABsin2beta=1/2ACsin2gamma$
I $4$ punti pertanto hanno la stessa distanza da $BC$ ed esiste quindi ed è unica la retta parallela a $BC$ che li contiene.
Per quanto riguarda la sintetica mi blocco a un certo punto:
Si consideri il quadrilatero $ADCE$, esso è un rettangolo. Si consideri la diagonale $DE$, risulta: $DEC=ACE=ECB=gamma$, gli angoli $DEC$ e $ECB$ in particolare sono alterni interni rispetto alle rette $BC$ e $DE$, pertanto $BC$ e $DE$ sono parallele. Stesso ragionamento si fa con il rettangolo $AGBF$ in cui $FG$ risulta parallela a $BC$. Per dimostrare che $FG$ e $DE$ sono allineate basterebbe dimostrare che a che la retta $EG$ è parallela a $BC$, ma qui non riesco ad andare avanti...qualche hint?
Siano $D$, $E$, $F$, $G$ le proiezioni di $A$ rispettivamente sulla bisettrice esterna e interna di $C$ e su quella esterna e interna di $B$, siano inoltre $2beta$ e $2gamma$ gli angoli in $B$ e $C$ rispettivamente, siano inoltre $D'$,$E'$,$F'$,$G'$ le proiezioni dei $4$ punti su $BC$, risulta:
$DD'= ACcos(pi/2-gamma)sin(pi/2-gamma)=E E'=ACcosgammasingamma=1/2ACsin2gamma$
$FF'=ABcos(pi/2-beta)sin(pi/2-beta)=GG'=ABsinbetacosbeta=1/2ABsin2beta$
Risulta inoltre dal teorema del seno che $1/2ABsin2beta=1/2ACsin2gamma$
I $4$ punti pertanto hanno la stessa distanza da $BC$ ed esiste quindi ed è unica la retta parallela a $BC$ che li contiene.
Per quanto riguarda la sintetica mi blocco a un certo punto:
Si consideri il quadrilatero $ADCE$, esso è un rettangolo. Si consideri la diagonale $DE$, risulta: $DEC=ACE=ECB=gamma$, gli angoli $DEC$ e $ECB$ in particolare sono alterni interni rispetto alle rette $BC$ e $DE$, pertanto $BC$ e $DE$ sono parallele. Stesso ragionamento si fa con il rettangolo $AGBF$ in cui $FG$ risulta parallela a $BC$. Per dimostrare che $FG$ e $DE$ sono allineate basterebbe dimostrare che a che la retta $EG$ è parallela a $BC$, ma qui non riesco ad andare avanti...qualche hint?
Sono fuori, quindi scrivo velocemente. Prova dimostrare che le proiezioni giacciono sulla retta che passa per i punti medi di AC e AB
Già, giusto, essendo $AC$ e $AB$ le diagonali dei rispettivi rettangoli, esse intersecano le diagonali $DE$ e $FG$ nei rispettivi punti medi 
Si, esatto.
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