Problemino sull'ennagono regolare.

[Erasmus_First]

Richiamo
In un ennagono [=poligono con nove lati] regolare ci sono diagonali di tre diverse lunghezze
• Una diagonale "corta" forma un triangolo isoscele con due lati consecutivi dell'ennagono.
• Una diagonale "lunga" forma un pentagono irregolare con 4 lati consecutivi dell'ennagono.
[Una diagonale di lunghezza intermedia forma un trapezio isoscele con tre lati consecutivi dell'ennagono].

Problema:[size=130]
Dimostrare che in un ennagono regolare la differenza tra le lunghezze di una "diagonale lunga" e di una "diagonale corta" è uguale alla lunghezza del lato.[/size]
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[axpgn]

Mi spiace Erasmus ma lo hanno appena postato qui …

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":Mi spiace Erasmus ma lo hanno appena postato qui …

Cordialmente, Alex

Grazie, Alex.
Io vengo da "Rudi mathematici" dove questo quiz è stato "postato" da poco.
Non ho controllato le date e l'ora esatte là su "Rudi Mathematici" e qui su "Giochi matematici".
Ma è molto probabile che chi ha messo questo quiz in Rudi Mathematici l'abbia visto subito prtima in matematicamente.it ... o viceversa (precedendo quindi Erasmus).
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Ma allora ... modifico il quiz perché la "mia" dimostrazione è interessante (in quanto mi pare abbastanza originale)

Assunta unitarioa la lunghezza di un lato di un ennagono regolare, la lunghezza delle diagonali lunghe r– diciamola $L$ – è:
$L = 1/(2sin(10°))$.
La lunghezza delle diagonali corte – diciamola $C$ – è:
$C = 2 cos(20°)$.
La differenza $L – C$ – diciamola $D$ – è dunque:
$D = L – C = 1/(2sin(10°)) – 2 cos(20°)$.
Dimostrare che D vale 1.

Insomma:
Pur non conoscendo i valori di sin(10°) e di cos(20°):
[size=110] Dimostrare che $1/(2sin(π/18))$ $– 2 cos(π/9) =1$.[/size]
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[axpgn]

$pi/18=alpha$ e $pi/9=beta$

$1/(2sin(alpha))-2cos(beta)=1$

$1-4sin(alpha)cos(beta)=2sin(alpha)$

$1-4*1/2*[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]=2sin(alpha)$

$1-2[sin(pi/6)+sin(-alpha)]=2sin(alpha)$

$1-2[1/2-sin(alpha)]=2sin(alpha)$

$1-1+2sin(alpha)-2sin(alpha)=0$

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

@ Alex/axpgn
Oh che bel metodino, marcondirondirondino,
oh che bel metodino marcondirondirondà!

Ma il mio è ancor più bello marcondirondirondello!
Sì il mio è ancor più bello marcondirondirondà!

$1/(2sin(10°)) -2cos(20°) = 1/(2sin(10°)) –2[1–2sin^2(10°)] = (8sin^3(10°) - 4sin(10°) + 1)/(2sin(10°)) = ???$ (*)
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NB: Per trovare quanto vale l'espressione (*) senza conoscere quanto vale sin(10°) si può sfruttare il fatto che in generale $sin(3x) = 3sin(x) – 4sin^3(x)$ (oltre a ricordare che sin(30°) = 1/2), per cui:

$(8sin^3(10°) - 4sin(10°) + 1)/(2sin(10°)) =(2·[4·sin^3(10°) –3·sin(10°)] +2sin(10°) +1)/(2sin(10°)) =$

$=(-2·sin(30°) + 2·sin(10°)+1)/(2·sin(10°))=(-1+2·sin(10°)+1)/(2·sin(10°)) = (2sin(10°))/(2sin(10°))=1$.

[size=130]C. D. D. [/size]
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[axpgn]

Beato te che sei così allegro alle tre di notte! … peraltro non ho capito perché hai messo sotto spoiler il commento e non la soluzione …

Cordialmente, Alex