Problemino Sant'Anna

[NicolasRossi]

Ho provato a risolvere questo problemino che ho trovato tra quelli di ammissione al Sant'Anna. Solo che dato che è la prima volta che ne faccio uno volevo confrontare la soluzione con voi.
Ve lo propongo:

-Trovare le soluzioni intere dell'equazione:

$x^3+2*y^3=4*z^3$

Io ho utilizzato il principio della discesa infinita nella formula più classica possibile.
Considerando che a destra dell'uguale c'è una quantità pari, per far sì che anche quella a sinistra sia pari, $x$ dev'essere pari. Quindi cambio variabile e impongo $x=2a$ . Sostituisco e ivido tutto per due e continuo con lo stesso ragionamento fino a quando ho la stessa equazione di prima. Le soluzioni sono per tutte e tre le incognite $0$
E' così che si risolve?

[milizia96]

Io l'ho risolto come te. Ma forse è il caso di spiegare meglio come mai (oltre a $x=y=z=0$) l'equazione non ha soluzioni, per esempio io farei una cosa del genere:

Noto che $(0,0,0)$ è soluzione. Ora considero solo le soluzioni con almeno una variabile diversa da $0$.
Supponiamo che $(x, y, z)$ soddisfi l'equazione, e inoltre che questa soluzione sia in modo tale che l'espressione $|x|+|y|+|z|$ assuma valore minimo (se esistono soluzioni, allora esiste anche questo valore minimo).
Faccio le stesse sostituzioni che hai fatto tu, scoprendo che anche $(x/2, y/2, z/2)$ è soluzione.
Ma $|x/2| + |y/2| + |z/2| < |x|+|y|+|z|$ contraddicendo l'ipotesi imposta, cadendo quindi in un assurdo.

[NicolasRossi]

Così funziona. Pensi che se spiegassi come funziona il principio del minimo e facessi notare che i due principi in questo caso sono equivalenti andrebbe bene lo stesso?

Comunque anche tu sei del '96?

[milizia96]

In realtà quelli che hai citato come "principio del minimo" e "principio della discesa infinita" sono esattamente la stessa cosa.
Solo che usare questi "principi" non è esattamente una cosa banale, quindi non so se vada bene citarli e basta o se convenga piuttosto scrivere un bel ragionamento che di sicuro viene accettato...

Comunque sì, sono del 96.

[NicolasRossi]

Okok Grazie mille.