Problemino di analisi 1

[dan952]

Sia $f: [0,1] \mapsto RR$ una funzione continua tale che:
$$0<|\int_{0}^{1}f(x)dx|<1$$
Mostrare che esistono $a != b$ tali che
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)^{1000}$$

Suggerimento 1)

Seguendo la mia soluzione:
Mostrare che almeno una delle funzioni $\Delta(x)=f(x)-1000x^{999}$ e $\Delta(x)=f(x)+1000x^{999}$ cambia segno in $(0,1)$.

Suggerimento 2)

Applicare il teorema dell'esistenza degli zeri e il teorema dei valori intermedi

[Rigel1]

Supponiamo, per fissare le idee, che \(0 < \int_0^1 f < 1\).
In tal caso, esiste \(x_0\in (0,1)\) tale che \(f(x_0) > 0\).
La funzione \(F(x) := \int_{x_0}^x f(t)\, dt - (x-x_0)^{1000}\) si annulla in \(x_0\) e \(F'(x_0) = f(x_0) > 0\); di conseguenza, è strettamente positiva in un intorno destro di \(x_0\).
Se si annulla per qualche valore \(b \in (x_0, 1]\) concludiamo scegliendo \(a = x_0\).
Se invece \(F(x) > 0\) per ogni \(x \in (x_0, 1]\), consideriamo la nuova funzione \(G(x) := \int_x^1 f(t)\, dt - (1-x)^{1000}\).
Per la costruzione precedente sappiamo che \(G(x_0) = F(1) > 0\).
Abbiamo che \(G\) si annulla per qualche \(a\in [0, x_0)\); infatti, in caso contrario, per la continuità di \(G\) si avrebbe \(G(0) > 0\), cioè \(\int_0^1 f - 1 > 0\) in contraddizione con le ipotesi.
Concludiamo dunque scegliendo \(b=1\).

[dan952]

Bella, semplice e veloce! Grande Rigel!
Io mi sono complicato la vita...

[Wilde1]

Anche io l'avevo risolto sull'idea di dan95, in particolare analizzando la funzione $g(x,y)= \int_{x}^{x+y}f(x)dx-(y)^{1000} \quad $ con $\quad y in (0,1] \quad\quad x in [0,1-y)$

Pero' vedendo le soluzione devo dire che la soluzione di Rigel e' la migiore.