Problemi Normale AA 1987/88 N2

[Sk_Anonymous]

Siano $p, q, r$, tre numeri reali tali che il polinomio
$A(x) = x^3+ px^2+qx +r$
abbia tre radici reali.
Determinare tre numeri reali $a, b, c$, espressi in funzione di $p, q, r$ soltanto, in modo che il polinomio
$B(x) = x^3+ax^2+bx +c$
abbia per radici i quadrati delle radici di $A$.

[Pachisi]

Siano $x_1, x_2, x_3 \in mathbb{R}$ le tre radici reali di $A(x)$. Le radici di $B(x)$ saranno $x_1^2, x_2^2, x_3^2$. E` noto che $-(x_1+x_2+x_3)=p, -x_1x_2x_3=r$ e $x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=q$. In modo simile, $-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=a, (x_1x_2)^2+(x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2=b$ e $-(x_1x_2x_3)^2=c$. Allora, vediamo facilmente che $c=-r^2$. Inoltre, si ha $(-(x_1+x_2+x_3))^2=p^2$, ossia $x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=p^2$. Dunque, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=p^2-2q$. Quindi, $a=-(p^2-2q)$. Infine, $(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)^2=q^2$. Semplificando, troviamo che $(x_1x_2)^2+(x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2+2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=q^2$. Allora, $b=(x_1x_2)^2+(x_2x_3)^2+(x_1x_3)^2=q^2-2pr$.
Quindi, $B(x)=x^3-(p^2-2q)x^2+(q^2-2pr)x-r^2$.

[mazzarri1]

Sono molto felice... sono riuscito a risolvere un problema SNS... ora vado a brindare... il mio procedimento è identico a quello di Pachisi quindi non lo sto a riportare
Il mio risultato è differente per un segno sull'ultimo coefficiente $b$

$c=-r^2$
$a=2q-p^2$
$b=q^2-2pr$

il mio calcolo per arrivare a $b$ è stato il seguente

$b=x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2=$

$=(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)^2 - 2 x_1^2x_2x_3 - 2 x_1x_2^2x_3 - 2 x_1x_2x_3^2=$

$=q^2-2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=$

$=q^2-2(-r)(-p)=$

$=q^2-2pr$

[Pachisi]

Ho sbagliato il segno. Cambio subito.