Problemi Normale AA 1984/85 N6

[Sk_Anonymous]

Siano dati una circonferenza $gamma$ e un punto $P$ distinto dal centro. Sia $PAB$ un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in $P$ e i rimanenti due su $gamma$, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici $A$ e $B$ passano per il centro di $gamma$.
(Non si richiede la costruzione geometrica, né la determinazione degli elementi del triangolo).

[orsoulx]

Se si accettano le regole del biliardo ottico non servono parole. Altrimenti le proprietà dei punti stazionari sono sufficienti

Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

Cosa sono e come funzionano i biliardi ottici?
Punti stazionari di quale funzione?

[orsoulx]

Biliardi (teorici) dove l'effetto non modifica la traiettoria di rimbalzo: angolo di incidenza uguale all'angolo di riflessione, come nell'ottica geometrica. Punti stazionari del perimetro: se la bisettrice in A non passa per il centro, l'ellisse con fuochi in P e B, passante per A, verrebbe attraversata in A dalla circonferenza e esisterebbero punti A' di questa esterni all'ellisse, da cui $ PA'+A'B > PA+AB $
Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

"orsoulx":Biliardi (teorici) dove l'effetto non modifica la traiettoria di rimbalzo: angolo di incidenza uguale all'angolo di riflessione, come nell'ottica geometrica.

Come usi questi concetti per provare la tesi?

Punti stazionari del perimetro: se la bisettrice in A non passa per il centro, l'ellisse con fuochi in P e B, passante per A, verrebbe attraversata in A dalla circonferenza e esisterebbero punti A' di questa esterni all'ellisse, da cui $ PA'+A'B > PA+AB $

questo è precisamente il modo che ho immaginato anch'io per provare la tesi: la condizione di massimo implica la tangenza in A della circonferenza con un'ellissi di fuochi P e B e quindi, per le proprietà "ottiche" dell'ellissi, la tesi; lo stesso vale per il punto B.

[orsoulx]

"sprmnt21":Come usi questi concetti per provare la tesi?

Percorso massimo (o minimo) relativo -> traiettoria dell'ottica geometrica -> angoli con bisettrice passante per il centro.
Ma, forse, mi son lasciato prendere la mano!
Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

"orsoulx":[quote="sprmnt21"]Come usi questi concetti per provare la tesi?

Percorso massimo (o minimo) relativo -> traiettoria dell'ottica geometrica -> angoli con bisettrice passante per il centro.
Ma, forse, mi son lasciato prendere la mano!
Ciao
B.[/quote]

ho incontrato diversi problemini in cui il comportamento delle palle sul biliardo ideale risolve problemi di minimo(ma non di amssimo).

[orsoulx]

"sprmnt21":ho incontrato diversi problemini in cui il comportamento delle palle sul biliardo ideale risolve problemi di minimo(ma non di amssimo).

Penso sia una questione psicologica. La luce così veloce, perché dovrebbe descrivere il percorso più lungo? La natura dovrebbe costituire una 'giustificazione' alla frenesia contemporanea.
A volte il massimo risulta pure molto lontano...
Compulsando libri di testo per le scuole secondarie, spesso si trova indicato solo il caso del minimo e, rare volte, la possibilità del massimo viene riportata solo in parentesi o in nota.
Ciao
B.